наибольший общий делитель чисел 120 и 180

Задача: найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 120 и 180.

Что такое НОД

• НОД(а, b) — наибольшее число, которое делит и а, и b без остатка.
• Это число обязательно делит два исходных числа и является максимальным среди всех таких делителей.

Способ 1. Разложение на простые множители

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • 120 = 2^3 × 3 × 5
   • 180 = 2^2 × 3^2 × 5
2. Возьмём общие простые множители с минимальными степенями:
   • 2: минимальная степень = min(3, 2) = 2, даёт 2^2
   • 3: минимальная степень = min(1, 2) = 1, даёт 3^1
   • 5: минимальная степень = min(1, 1) = 1, даёт 5^1
3. Перемножим полученные множители: НОД = 2^2 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
4. Проверка: 120 ÷ 60 = 2, 180 ÷ 60 = 3 — оба целые, значит 60 делит оба числа. Среди всех делителей 120 и 180 это наибольшее возможное.

Способ 2. Алгоритм Евклида

1. Применяем деление по алгоритму Евклида к (180, 120): 180 = 120 × 1 + 60
2. Теперь находим НОД(120, 60): 120 = 60 × 2 + 0
3. Когда остаток стал 0, текущий делитель — это НОД: НОД(120, 180) = 60

Проверочная связь (наглядная дополнительная проверка)

• НОД и НОК связаны формулой: a × b = НОД(a, b) × НОК(a, b).
• Здесь 120 × 180 = 21600, а НОД = 60, значит НОК = 21600 / 60 = 360. Это согласуется и с факторизацией.

Ответ: НОД(120, 180) = 60.