Наибольший общий делитель чисел 120 и 180

Задача: найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 120 и 180. Что такое НОД - НОД(а, b) — наибольшее число, которое делит и а, и b без остатка. - Это число обязательно делит два исходных числа и является максимальным среди всех таких делителей. Способ 1. Разложение на простые множители 1) Разложим каждое число на простые множители: - 120 = 2^3 × 3 × 5 - 180 = 2^2 × 3^2 × 5 2) Возьмём общие простые множители с минимальными степенями: - 2: минимальная степень = min(3, 2) = 2, даёт 2^2 - 3: минимальная степень = min(1, 2) = 1, даёт 3^1 - 5: минимальная степень = min(1, 1) = 1, даёт 5^1 3) Перемножим полученные множители: НОД = 2^2 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60 4) Проверка: 120 ÷ 60 = 2, 180 ÷ 60 = 3 — оба целые, значит 60 делит оба числа. Среди всех делителей 120 и 180 это наибольшее возможное. Способ 2. Алгоритм Евклида 1) Применяем деление по алгоритму Евклида к (180, 120): 180 = 120 × 1 + 60 2) Теперь находим НОД(120, 60): 120 = 60 × 2 + 0 3) Когда остаток стал 0, текущий делитель — это НОД: НОД(120, 180) = 60 Проверочная связь (наглядная дополнительная проверка) - НОД и НОК связаны формулой: a × b = НОД(a, b) × НОК(a, b). - Здесь 120 × 180 = 21600, а НОД = 60, значит НОК = 21600 / 60 = 360. Это согласуется и с факторизацией. Ответ: НОД(120, 180) = 60.