y=x²

Отлично. Разберём задачу по теме y = x^2, с учетом того, что цель — понять и класс 7-й.

Что это за функция

• y = x^2 — параболическая функция. Значение y зависит от квадрата числа x.
• График: парабола, открывается вверх, вершина в начале координат (0,0).
• Это пример квадратичной функции; она симметрична относительно оси y (для любого x выполняется f(-x) = f(x)).

Как вычислять y для заданного x

• Просто возведите x в квадрат: y = x^2.
• Примеры:
  • x = -3 → y = (-3)^2 = 9
  • x = -1 → y = (-1)^2 = 1
  • x = 0 → y = 0^2 = 0
  • x = 2 → y = 2^2 = 4
  • x = 5 → y = 25

Пояснение свойств функции

• Область определения: все действительные числа. D = R.
• Область значений (множество y): y ≥ 0, то есть [0, +∞).
• Четность: функция четная, f(-x) = f(x).
• Вершина и ось симметрии:
  • Вершина: (0, 0)
  • Ось симметрии: x = 0 (все точки параболы симметричны относительно этой прямой).
• Поведение графика на числовых интервалах:
  • Для x ≤ 0 функция убывает по мере приближения к 0 (например, при переходе от -3 к 0 y уменьшается: 9 → 0).
  • Для x ≥ 0 функция возрастает по мере увеличения x (при переходе от 0 к 3: 0 → 9).
• Быстрое правило «как растет»:
  • Увеличение x на 1 не просто на 1 в y — изменение зависит от текущего x: y(x+1) − y(x) = (x+1)^2 − x^2 = 2x + 1. Это означает, что прирост y растет с x.

Как построить график (пошагово)

• Возьмите набор x-значений, например: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
• Вычислите соответствующие y: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9.
• Отметьте точки: (-3,9), (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9).
• Соедините точки плавной дугой сверху, получили параболу, открывающуюся вверх.

Коротко о применении и особенностях

• Это базовая форма квадратной функции без переносов. Если бы была функция y = (x − h)^2 + k, то вершина moved to (h, k) и ось симметрии стала x = h.
• В задачах по графикам можно спрашивать: найти координаты вершины, ось симметрии, диапазон значений y, какие точки лежат на графике, как изменяется y при заданном x.

Примеры практических задач (для закрепления)

1. Найдите y, если x = -4, 0, 4.
   • Ответ: y(-4) = 16, y(0) = 0, y(4) = 16.
2. Перечислите точки с целыми x на графике, где y принимает кубическое значение? (подразумевается: для y = x^2, это просто пары (0,0), (±1,1), (±2,4), (±3,9)...)
3. Определите диапазон значений y для функции y = x^2.
   • Ответ: y ∈ [0, ∞).

Если хочешь, могу подобрать еще примеры на разных уровнях сложности (например, с переносами, или задания на график с заданной областью). Сообщи, какие именно аспекты нужно разобрать подробнее или какие упражнения сделать.