(2+2i)⁴

Задача: (2+2i)^4

Пошаговое решение с объяснениями.

1. Вынесем общий множитель: (2+2i) = 2(1+i). Тогда (2+2i)^4 = [2(1+i)]^4 = 2^4 (1+i)^4 = 16 (1+i)^4.

2. Найдем (1+i)^2: (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.

3. Затем найдем (1+i)^4 как квадрат предыдущего: (1+i)^4 = [(1+i)^2]^2 = (2i)^2 = 4 i^2 = -4.

4. Подставим обратно: (2+2i)^4 = 16 · (1+i)^4 = 16 · (-4) = -64.

Или можно проверить двумя альтернативными способами:

• Через тригонометрическую форму: 2+2i имеет модуль |2+2i| = 2√2 и аргумент π/4. Тогда (2+2i)^4 имеет модуль (2√2)^4 = 64 и аргумент 4·(π/4) = π, то есть результат = 64(cos π + i sin π) = -64.

• Через двойное возведение в степень: (2+2i)^2 = 4 + 8i + 4i^2 = 8i. Тогда (2+2i)^4 = [(2+2i)^2]^2 = (8i)^2 = -64.

Ответ: -64.