покажи промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства функции — это интервалы, на которых функция имеет один и тот же знак (всегда положительная или всегда отрицательная). Числа, где функция обращается в ноль или где область определения не определена, обычно разделяют эти интервалы.

Как находить промежутки знакопостоянства (общий алгоритм)

1. Определяем область определения функции (исключаем точки разрыва, где функция не определена).
2. Находим все корни числителя (где f(x) = 0). Эти точки делят ось x на интервалы.
3. Разбиваем ось на открытые интервалы между этими точками разрыва и точки разрыва.
4. На каждом таком интервале подставляем произвольную точку и вычисляем знак f(x) на этом интервале.
5. Записываем интервалы, на которых f(x) > 0 (положительно) и на которых f(x) < 0 (отрицательно).
6. Примечание: если корень кратности чётной, знак на обеих сторонах корня не меняется; если кратности нечётные — знак меняется.

Примеры

Пример 1. Полином: f(x) = (x − 2)(x − 3)

• Область: вся R.
• Корни: x = 2, x = 3. Эти точки разделяют ось на интервалы: (-∞, 2), (2, 3), (3, ∞).
• Проверяем знаки:
  • На (-∞, 2), возьмём x = 0: f(0) = (−2)(−3) = 6 > 0.
  • На (2, 3), возьмём x = 2.5: f(2.5) = (0.5)(−0.5) = −0.25 < 0.
  • На (3, ∞), возьмём x = 4: f(4) = (2)(1) = 2 > 0.
• Промежутки знакопостоянства:
  • f(x) > 0 на (-∞, 2) и на (3, ∞)
  • f(x) < 0 на (2, 3)
  • f(x) = 0 в x = 2 и x = 3

Пример 2. Рациональная функция: f(x) = (x − 2)(x + 2) / [(x − 1)(x + 1)]

• Область: x ≠ 1 и x ≠ −1.
• Корни числителя: x = −2 и x = 2 (где f(x) = 0).
• Точки разрыва (дополнительные разделители): x = −1 и x = 1.
• Интервалы между разделителями:
  1. (-∞, −2)
  2. (−2, −1)
  3. (−1, 1)
  4. (1, 2)
  5. (2, ∞)
• Проверяем знаки в каждом интервале (берём тестовые точки):
  • x = −3: числитель (−5)(−1) = 5, знаменатель (−4)(−2) = 8 → f > 0
  • x = −1.5: числитель (−3.5)(0.5) < 0, знаменатель (−2.5)(−0.5) > 0 → f < 0
  • x = 0: числитель (−2)(2) = −4 < 0, знаменатель (−1)(1) = −1 < 0 → f > 0
  • x = 1.5: числитель (−0.5)(3.5) < 0, знаменатель (0.5)(2.5) > 0 → f < 0
  • x = 3: числитель (1)(5) > 0, знаменатель (2)(4) > 0 → f > 0
• Промежутки знакопостоянства:
  • f(x) > 0 на (-∞, −2) и на (−1, 1) и на (2, ∞)
  • f(x) < 0 на (−2, −1) и на (1, 2)
  • f(x) = 0 в x = −2 и x = 2
  • В точках x = −1 и x = 1 функция не определена (вертикальные асимптоты)

Если хочешь, могу разобрать конкретную задачу с твоей формулой функции. Просто пришли f(x) или фото задачи, и я покажу точные промежутки знакопостоянства для неё.