Задача Задача №3416890
А
А
(x²-5)²-3(x²-5)(2x-5)+2(2x-5)²=0
Решение задачи: (x^2 - 5)^2 - 3(x^2 - 5)(2x - 5) + 2(2x - 5)^2 = 0
Пошагово
- Замещаем переменные для упрощения:
- Обозначим a = x^2 - 5, b = 2x - 5.
- Тогда выражение становится: a^2 - 3ab + 2b^2.
- Факторизация квадратного выражения:
- Найдем разложение a^2 - 3ab + 2b^2 = (a - b)(a - 2b).
- Проверка: (a - b)(a - 2b) = a^2 - (1+2)ab + 2b^2 = a^2 - 3ab + 2b^2. Верно.
Приравниваем к нулю полученную факторизацию: (a - b)(a - 2b) = 0.
Разбираем два случая:
Случай 1: a - b = 0 x^2 - 5 = 2x - 5 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 Следовательно, x = 0 или x = 2.
Случай 2: a - 2b = 0 x^2 - 5 = 2(2x - 5) = 4x - 10 x^2 - 4x + 5 = 0 Дискриминант Δ = (-4)^2 - 4·1·5 = 16 - 20 = -4 < 0. Значит, вещественных решений нет; есть комплексные: x = [4 ± sqrt(-4)]/2 = 2 ± i.
- Итог:
- Реальные решения уравнения: x = 0 и x = 2.
- Если учитывать комплексные корни, то дополнительно x = 2 ± i.
Проверка (краткая):
- Для x = 0: (−5)^2 − 3(−5)(−5) + 2(−5)^2 = 25 − 75 + 50 = 0.
- Для x = 2: a = x^2 − 5 = −1, b = 2x − 5 = −1; выражение = (−1)^2 − 3(−1)(−1) + 2(−1)^2 = 1 − 3 + 2 = 0.
Если нужно, могу привести альтернативный метод решения или проверить какие-то конкретные шаги подробнее.
