|х-4|=6х-х²-8

Задача: |x − 4| = 6x − x^2 − 8

Суть: левая часть неотрицательна, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной. Но решим по шагам через разбиение на случаи.

1. Воспользуемся разбиением на случаи по знаку выражения под модулем.

• Случай A: x − 4 ≥ 0, то |x − 4| = x − 4. Уравнение превращается в x − 4 = 6x − x^2 − 8. Переносим все в одну сторону: 0 = 6x − x^2 − 8 − (x − 4) = −x^2 + 5x − 4. Умножим на −1: x^2 − 5x + 4 = 0. Факторируем: (x − 1)(x − 4) = 0 → x = 1 или x = 4. Но учитываем условие x − 4 ≥ 0 → x ≥ 4. Значимый корень: x = 4.

• Случай B: x − 4 < 0, то |x − 4| = 4 − x. Уравнение: 4 − x = 6x − x^2 − 8. Переносим: 0 = 6x − x^2 − 8 − (4 − x) = −x^2 + 7x − 12. Умножим на −1: x^2 − 7x + 12 = 0. Факторируем: (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 или x = 4. Но учитываем условие x − 4 < 0 → x < 4. Значимый корень: x = 3.

2. Проверка (опционально):

• При x = 3: левая часть |3 − 4| = 1, правая часть 6·3 − 3^2 − 8 = 18 − 9 − 8 = 1. Оба равны.
• При x = 4: левая часть |4 − 4| = 0, правая часть 6·4 − 4^2 − 8 = 24 − 16 − 8 = 0. Оба равны.

Ответ: x = 3 и x = 4.