|х-4|=6х-х²-8 решить с помощью фигурных скобок и квадратных

Задача: |x − 4| = 6x − x^2 − 8

Чтобы учесть знак модуля, распишем его через фигурные скобки вместе с квадратными условиями:

|x − 4| = { x − 4, [x ≥ 4] 4 − x, [x < 4] }

Разбираем по двум случаям.

1. Случай 1: x ≥ 4 Уравнение становится: x − 4 = −x^2 + 6x − 8 Перепишем в одну сторону: 0 = −x^2 + 5x − 4 Умножим на −1: x^2 − 5x + 4 = 0 Факторизация: (x − 1)(x − 4) = 0 Значения: x = 1, x = 4. Но учитывая условие x ≥ 4, остаётся x = 4.

2. Случай 2: x < 4 Уравнение становится: 4 − x = −x^2 + 6x − 8 Перепишем в одну сторону: 0 = −x^2 + 7x − 12 Умножим на −1: x^2 − 7x + 12 = 0 Факторизация: (x − 3)(x − 4) = 0 Значения: x = 3, x = 4. Но учитывая условие x < 4, остаётся x = 3.

Итого решения: x ∈ {3, 4}.

Проверка:

• x = 3: |3 − 4| = 1, RHS = 6·3 − 9 − 8 = 1 ✓
• x = 4: |4 − 4| = 0, RHS = 24 − 16 − 8 = 0 ✓

Ответ: {3, 4}.