|x + 3| - |x - 2| = 5 Реши уравнение 10 класс

Задача: |x + 3| - |x - 2| = 5

Цель: понять и получить подробное решение.

1. Найдём точки Разложения: внутри модулей меняют знак при x = -3 и x = 2. Разделим область на три промежутка:

• I: x < -3
• II: -3 ≤ x ≤ 2
• III: x > 2

2. Решение по промежуткам

• Промежуток I: x < -3 |x+3| = -(x+3) = -x-3, потому что x+3 ≤ 0 |x-2| = -(x-2) = -x+2, потому что x-2 ≤ -5 < 0 Подставим в уравнение: (-x-3) - (-x+2) = -x-3 + x - 2 = -5 Получаем -5 = 5, противоречие. Значит решений в этом промежутке нет.

• Промежуток II: -3 ≤ x ≤ 2 |x+3| = x+3, потому что x+3 ≥ 0 |x-2| = -(x-2) = -x+2, потому что x-2 ≤ 0 Подстановка: (x+3) - (-x+2) = x+3 + x - 2 = 2x + 1 Нужно 2x + 1 = 5 → 2x = 4 → x = 2 Значение x = 2 подходит к этому промежутку (включено). Значит решение: x = 2.

• Промежуток III: x > 2 |x+3| = x+3, |x-2| = x-2 Подстановка: (x+3) - (x-2) = 5 Левое выражение упрощается до 5, то есть тождественно равно 5 для любого x в этом промежутке. Значит все x ≥ 2 являются решениями.

3. Итог

• Из промежутка III мы получаем все x ≥ 2.
• Из промежутка II только x = 2, который уже учтён в x ≥ 2.
• Промежуток I решений нет.

Ответ: все x ≧ 2. То есть решение множества: [2, ∞).

Проверка: для x = 2: |5| - |0| = 5, верно. Для x = 3: |6| - |1| = 6 - 1 = 5, верно.