в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. найдите боковое ребро параллелепипеда
Задача: в прямоугольном параллелепипеде основание имеет стороны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите боковое ребро (высоту) параллелепипеда.
Решение:
Пусть а = 12 см, b = 5 см — стороны основания. Длина диагонали основания (проекция диагонали параллелепипеда на основание) будет p = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 см.
Обозначим высоту параллелепипеда как h. У пространственной диагонали есть проекция на основание длиной p = 13 см, а вертикальная составляющая — это высота h. Диагональ и её проекция образуют прямоугольный треугольник, угол между диагональю и плоскостью основания равен θ = 45°. Тогда тангенс угла равен отношению вертикальной составляющей к длине проекции: tan θ = h / p.
Так как θ = 45°, tan 45° = 1. Значит h = p = 13 см.
Ответ: боковое ребро параллелепипеда равно 13 см.
Доп. вычисление (по желанию): длина самой пространственной диагонали D = sqrt(p^2 + h^2) = sqrt(13^2 + 13^2) = sqrt(338) ≈ 18.36 см.
