Три прямые проходят через 1 точку, через каждые 2 из них проведена плоскость, сколько всего проведено плоскостей?

Задача: три прямые проходят через одну точку. Через каждую пару из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Пояснение и решение

• Обозначим прямые как l1, l2, l3. Все они пересекаются в одной точке O.
• Через любую пару прямых проходит единственная плоскость, содержащая обе эти прямые:
  • P12 — плоскость, содержащая l1 и l2
  • P13 — плоскость, содержащая l1 и l3
  • P23 — плоскость, содержащая l2 и l3

Теперь нужно понять, сколько из этих плоскостей могут совпадать.

• Если все три прямые лежат в одной плоскости (они коплана́рны), то любые две из них лежат в одной и той же плоскости. Тогда P12 = P13 = P23, и существует только одна плоскость.
• Если же три прямые не лежат в одной плоскости, то ни две из плоскостей совпадают:
  • Если P12 = P13, то обе плоскости содержат l1, и обе содержат l2 и l3 — значит l2 и l3 lie в одной и той же плоскости вместе с l1, т.е. все три прямые лежат в одной плоскости, против нашего случая. Следовательно, при некопланарности такого совпадения нет.
  • Аналогично для других пар. Поэтому в некопланарной конфигурации P12, P13 и P23 все различны.

Вывод

• В общем случае, если три прямые не лежат в одной плоскости, можно получить 3 разных плоскости.
• Если же все три прямые лежат в одной плоскости, действительно только одна плоскость.

Ответ: 3 плоскости (при условии, что прямые не coplanar). В стандартной задаче часто предполагают именно неко́планарную конфигурацию, поэтому дают ответ 3.