Из одной вершины ромба проведены две высоты и диагональ. Найдите угол между этими высотами, если одна из них в 2 раза меньше данной диагонали. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60°
Пошаговое решение
Обозначим ромб ABCD так, чтобы ∠BAD = φ (угол при вершине A). Пусть сторона ромба равна a.
Найдём диагонали:
- AC = 2a cos(φ/2)
- BD = 2a sin(φ/2)
- Из одной вершины A опустим две высоты к обратным сторонам:
- высота h1 к стороне BC (BC параллельна AD);
- высота h2 к стороне CD (CD параллельна AB).
С помощью геометрии расстояние от точки A до прямой BC и до прямой CD равно:
- h1 = h2 = a sin φ.
- Пусть дано: одна из высот в 2 раза меньше данной диагонали. Рассмотрим оба варианта.
Вариант 1: h = AC/2. Это даёт: a sin φ = (1/2)·AC = (1/2)·(2a cos(φ/2)) = a cos(φ/2). Следовательно sin φ = cos(φ/2). Используем sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2): 2 sin(φ/2) cos(φ/2) = cos(φ/2). При cos(φ/2) ≠ 0 получаем 2 sin(φ/2) = 1 → φ/2 = 30° → φ = 60°.
Вариант 2: h = BD/2. Это даёт: a sin φ = (1/2)·BD = (1/2)·(2a sin(φ/2)) = a sin(φ/2). Следовательно sin φ = sin(φ/2). Используем sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2): 2 sin(φ/2) cos(φ/2) = sin(φ/2). При sin(φ/2) ≠ 0 получаем 2 cos(φ/2) = 1 → φ/2 = 60° → φ = 120°.
- Угол между двумя высотами равняется углу между прямыми, перпендикулярными BC и CD. Этот угол равен либо φ, либо его меньшей величине 180° − φ; в обоих случаях для полученных φ (60° или 120°) угол между высотами оказывается равен 60°.
Итак, независимо от того, какая диагональ дана, ответ: 60°.
