За круглым столом случайным образом расселись три Ивана, два Сергея и четыре Андрея. Какова вероятность, что два Сергея сидят рядом?

Задача: вокруг круглого стола расселись 9 человек: 3 Ивана, 2 Сергея и 4 Андрея. Какова вероятность, что два Сергея сидят рядом?

Пошаговое решение

1. Общее число способов посадки вокруг круглого стола

• Все 9 людей различны, вокруг круга надо учесть вращательную эквивалентность. Число круговых размещений равно (n−1)! для n людей.
• Здесь n = 9, значит общее число размещений: 8!.

2. Число благоприятных размещений (когда Сергеи S1 и S2 сидят рядом)

• Рассматриваем двух Сергеев как один блок вместе со всеми остальными людьми. Тогда получится 8 единиц (один блок Сергеев и 7 остальных людей).
• Количество круговых размещений этих 8 единиц: (8−1)! = 7!.
• Внутри блока Сергеев можно расположить двумя способами: S1–S2 или S2–S1. Значит умножаем на 2.
• Значит благоприятных размещений: 2 · 7!.

3. Вероятность

• Вероятность равна отношению благоприятных к общему: (2 · 7!) / 8! = 2 / 8 = 1/4.

4. Альтернативное понимание (быстрый интуитивный метод)

• Зафиксируем одного Сергея на месте. Остаются 8 мест вокруг стола для другого Сергея. Чтобы сидел рядом, у него есть 2 соседних места.
• Вероятность: 2/8 = 1/4.

Ответ: 1/4 (0.25). Примечание: результат зависит только от общего числа участников (9), а не от распределения по именам остальных людей.