точки A,B,C,D не лежат на одной плоскости. а) могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) могут ли прямые AB и CD пересекаться?

В задании A, B, C, D не лежат в одной плоскости (то есть они некоиперно образуют тетраэдр).

a) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

• Нет. Если три точки лежат на одной прямой, скажем A, B, C лежат на одной линии l. Тогда любая плоскость, проходящая через эту линию l и через четвертую точку D, будет содержать и все четыре точки (A, B, C лежат на l, значит они входят в эту плоскость). Это противоречит условию, что A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
• Следовательно, при неколипенности всех четырех точек три точки не могут быть коллинеарны.

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

• Нет. Если AB и CD пересекаются в точке P, то эти две прямые лежат в одной плоскости: через AB и точку пересечения можно зафиксировать плоскость, содержащую обе прямые. Тогда все четыре точки A, B, C, D будут лежать в одной плоскости, что противоречит условию неколипенности.
• Иначе говоря, при неколипенности четырех точек AB и CD либо параллельны и лежат в параллельных направлениях в разных плоскостях, либо движутся как две скрещенные (skew) прямые в пространстве.

Иллюстративный пример:

• Возьмем A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1). Эти четыре точки не лежат в одной плоскости.
• Прямая AB — линия вдоль оси x между (0,0,0) и (1,0,0).
• Прямая CD — линия, содержащая C и D: проходит через (0,1,0) и (0,0,1).
• Эти две прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости (они скрещены, skew).

Ответ:

• а) Нет, три из них не могут лежать на одной прямой.
• б) Нет, прямые AB и CD не могут пересекаться; они будут скрещёнными (skew).