число 17a+29b не делится на 13 ;докажите что и 4a+3b не делится на 13
Задача короче: показать, что если число 17a + 29b не делится на 13, то и число 4a + 3b не делится на 13.
Покажем это через эквивалентность модулю 13.
В модульности по 13 имеем:
- 17 ≡ 4 (mod 13)
- 29 ≡ 3 (mod 13)
Значит: 17a + 29b ≡ 4a + 3b (mod 13).
Следовательно, 13 делит 17a + 29b тогда и только тогда, когда 13 делит 4a + 3b. То есть обе суммы либо делятся на 13 одновременно, либо не делятся одновременно.
Следовательно, если 17a + 29b не делится на 13, то и 4a + 3b не делится на 13.
Дополнительное объяснение (контрапозиция): если предположить, что 4a + 3b делится на 13, то из 17a + 29b ≡ 4a + 3b (mod 13) следует, что 17a + 29b делится на 13 — противоречие исходному условию. Поэтому утверждение истинно.
Обсуждение
2 сообщениянайдите последнюю цифру числа 3¹⁶⁴¹
Чтобы найти последнюю цифру числа \(3^{1641}\), нам нужно вычислить \(3^{1641} \mod 10\), так как последняя цифра числа — это остаток от деления на 10.
Большинство чисел имеют период в своих последних цифрах. Мы можем найти последнюю цифру степеней числа 3, вычисляя несколько первых степеней:
- \(3^1 = 3\) (последняя цифра 3)
- \(3^2 = 9\) (последняя цифра 9)
- \(3^3 = 27\) (последняя цифра 7)
- \(3^4 = 81\) (последняя цифра 1)
Теперь, если продолжать:
- \(3^5 = 243\) (последняя цифра 3)
Мы наблюдаем, что последние цифры образуют период: \(3, 9, 7, 1\). Период равен 4.
Теперь нужно определить, где находится \(1641\) в этом периоде:
Вычислим \(1641 \mod 4\):
\[ 1641 \div 4 = 410 \quad \text{(остаток 1)} \]
Следовательно, \(1641 \mod 4 = 1\).
Это означает, что \(3^{1641}\) соответствует первой цифре в периоде, который начинается с \(3\).
Таким образом, последняя цифра числа \(3^{1641}\) равна \(3\).
