докажите что если в четырёхугольнике все углы прямые то четырёхугольник прямоугольник
Задача: доказать, что если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.
Пусть ABCD — четырехугольник, у которого все углы прямые: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
- Сначала покажем, что противоположные стороны параллельны.
Из ∠A = 90° следует, что AB ⟂ AD.
Из ∠D = 90° следует, что CD ⟂ DA.
Две прямые, обе перпендикулярны одной и той же прямой AD, значит они параллельны: AB ∥ CD.
Из ∠B = 90° следует, что AB ⟂ BC.
Из ∠A = 90° следует, что AB ⟂ AD.
Две прямые, обе перпендикулярны AB, значит они параллельны: BC ∥ AD.
Получаем: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Значит ABCD — параллелограмм.
- Используем факт о параллелограмме. В параллелограмме одна пара смежных углов суммируется в 180°, а если одна из сторон образует с другой прямой угол, то и все углы будут прямыми. Но у нас изначально даны все углы по 90°, следовательно ABCD — прямоугольник.
Итого: из того, что все углы ABCD равны 90°, следует, что стороны противоположные параллельны (AB ∥ CD и BC ∥ AD), то есть ABCD — параллелограмм, а параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.
