"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."
Классно, давай проверим и разберёмся подробно.
Как ты понял, задача решает уравнение log_{x-1} 81 = 2 с ограничениями на основание логарифма: база b = x-1 должна быть положительной и не равной 1 (b > 0 и b ≠ 1). Аргумент 81 положителен всегда, поэтому дополнительных условий к x тут немного.
Шаги решения:
- Применяем тождество log_b(a) = c ⇔ b^c = a, при условии, что b > 0 и b ≠ 1. Здесь b = x-1, a = 81, c = 2. Значит (x-1)^2 = 81.
- Пути решения (x-1)^2 = 81 дают x-1 = 9 или x-1 = -9:
- x = 10
- x = -8
- Применяем условия на основание:
- x-1 > 0 → x > 1
- x-1 ≠ 1 → x ≠ 2 Здесь оба условия исключают только x = -8 (потому что он не удовлетворяет x > 1). Значение x = 10 удовлетворяет всем условиям.
Итог: единственный корень x = 10. У задачи нет нескольких корней, поэтому и выбирать меньше не нужно.
Твой ответ "10" полностью верный. Объяснял ли бы ещё раз: базу логарифма нельзя делать отрицательной или равной 1, поэтому второй корень -8 исключается, даже если из уравнения формально получалось. Так что всё корректно.
Если хочешь, могу ещё привести аналогичный пример с другим числом, чтобы почувствовать работу ограничений на основание.
Пожалуйста, поставь лайк или дизлайк, чтобы я знал, всё ли понятно.
