Примеры по инверкции

Непонятность термина может иметь несколько значений в математике. Ниже приведены примеры по основным трактовкам слова “инверкция/инверсия” в средней школе. Если ты имел в виду другую интерпретацию, скажи — подготовлю примеры именно под неё. 1) Логическая инверсия (отрицание, De Morgan) Задача: понять, как работает отрицание логического выражения и преобразования по законам де Моргана. Пример 1.1 - Пусть A = истинно, B = ложно. - Вычислить ¬(A ∧ B) и проверить тождество ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B. 1) A ∧ B = истинно ∧ ложно = ложно. 2) ¬(A ∧ B) = ¬ложно = истинно. 3) ¬A = ложно, ¬B = истина; ¬A ∨ ¬B = ложно ∨ истина = истина. 4) Результаты совпадают: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B. Пример 1.2 (де Морган) - Раскрой ¬(A ∨ B) и сравни с ¬A ∧ ¬B. Пусть A = истинно, B = истинно. 1) A ∨ B = истина. 2) ¬(A ∨ B) = ложно. 3) ¬A = ложно, ¬B = ложно; ¬A ∧ ¬B = ложно. 4) Опять совпадают: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Пример 1.3 (таблично) Таблица для A, B и значения ¬(A ∧ B) и ¬A ∨ ¬B: - A T, B T: ¬(A∧B)=F, ¬A∨¬B=F - A T, B F: ¬(A∧B)=T, ¬A∨¬B=T - A F, B T: ¬(A∧B)=T, ¬A∨¬B=T - A F, B F: ¬(A∧B)=T, ¬A∨¬B=T Замечание: для любого значения A,B эти две формы равны (здесь иллюстративно показано). 2) Мультипликативное обратное число (обратное число) Задача: найти обратное число и решать уравнения с помощью умножения на обратное. Пример 2.1 - Найти мультипликативное обратное чисел: 7, -4/3, 0. 1) Обратное числа a ≠ 0: 1/a. 2) 7 -> 1/7; -4/3 -> -3/4. 3) 0 не имеет обратного (нет числа, умноженное на 0, чтобы получилось 1). Пример 2.2 - Решить уравнение 5x = 1 с помощью обратного числа. 1) Найдём обратное числа 5: 1/5. 2) Умножим обе части на 1/5: x = 1/5. 3) Проверка: 5·(1/5) = 1. Пример 2.3 - Решить уравнение (2/3)·x = 5. 1) Найдём обратное числа 2/3: 3/2. 2) Умножим обе части на 3/2: x = 5·(3/2) = 15/2. 3) Проверка: (2/3)·(15/2) = 30/6 = 5. Пример 2.4 - Решить уравнение x/4 = 3. 1) Перепишем как x·(1/4) = 3. 2) Умножим на 4: x = 12. 3) Проверка: 12/4 = 3. 3) Обратная функция (инверсия функции) Задача: найти обратную функцию и проверить. Пример 3.1 - Пусть f(x) = 3x + 5. Найди f^{-1}(x). 1) Обозначим y = f(x) = 3x + 5. 2) Меняем местами x и y: x = 3y + 5. 3) Решаем для y: x - 5 = 3y → y = (x - 5)/3. 4) Значит, f^{-1}(x) = (x - 5)/3. Проверка: f(f^{-1}(x)) = 3·((x-5)/3) + 5 = x - 5 + 5 = x. Аналогично f^{-1}(f(x)) = ((3x+5) - 5)/3 = x. Пример 3.2 - Пусть f(x) = (x - 7)/2. Найди f^{-1}(x). 1) y = (x - 7)/2; обменяем местами: x = (y - 7)/2. 2) Решим для y: x·2 = y - 7 → y = 2x + 7. 3) Значит, f^{-1}(x) = 2x + 7. Проверка: как в примере 3.1. 4) Геометрическая инверсия (инверсия относительно круга) Задача: понять идею инверсии в геометрии (более продвинутый уровень). Пример 4.1 (инверсия относительно единичного круга в начале координат) - Правило: точка P = (x, y) переходит в P' на той же луче от начала, но с отношением OP · OP' = R^2. Для единичного круга R = 1: OP' = 1 / OP, то есть вектор нормируется делением на квадрата длины. - Примеры: a) P = (2, 0). OP = 2, OP' = 1/2. P' = (1/2, 0). b) P = (1, 1). OP = √2, OP' = 1/√2. Направление остается тем же: P' = (1,1) / 2 = (1/2, 1/2). c) P = (3, 4). OP^2 = 25, OP' = 1/√25 = 1/5. P' = (3/25, 4/25). - Свойство: произведение расстояний от центра до исходной точки и её образа равно квадрату радиуса круга: OP · OP' = 1 для единичного круга. - Примечание: прямая, проходящая не через центр, после инверсии становится окружностью через центр и наоборот. Если тебе нужно более прикладные примеры под конкретный предмет или класс, скажи, и я подстрою подборку задач под твою ситуацию. Также могу сделать пакет заданий на одну из трактовций (например, только обратные функции с проверками, или только логическую инверсию с таблицами истинности). Какой вариант тебе ближе?