В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 10 см вписан имеющий с ним общий угол прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника через функцию

Задача: в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 10 см вписан прямоугольник, который имеет с ним общий угол (угол прямоугольника совпадает с углом треугольника). Найти площадь этого прямоугольника через функцию.

Делаем допущение: прямоугольник расположен так, что один его угол совпадает с правым углом треугольника, и стороны прямоугольника лежат вдоль катетов треугольника. Пусть на оси x отложено ∙6, на оси y ∙10. Тогда:

• точка, противоположная общему углу, имеет координаты (x, y) на гипотенузе.
• уравнение гипотенузы (через точки (6,0) и (0,10)): y = - (b/a) x + b, здесь a=6, b=10, значит y = -(10/6) x + 10 = -(5/3) x + 10.

Площадь прямоугольника S как функция переменной x (гарантируем, что y удовлетворяет условию на гипотеноузе):

• S(x) = x * y = x * (-(5/3) x + 10) = - (5/3) x^2 + 10 x.
• Область допустимости: 0 ≤ x ≤ 6.

Максимум функции S(x):

• Можно взять производную: S'(x) = - (10/3) x + 10.
• При S'(x) = 0 получаем x = 3.
• Тогда y = -(5/3) * 3 + 10 = -5 + 10 = 5.

Значит, максимальная площадь:

• S_max = x * y = 3 * 5 = 15 см².

Дополнительные замечания:

• Максимум достигается, когда противоположная вершина прямоугольника совпадает с серединой гипотенузы (координаты (3,5)).
• Полезная общая формула для любых прямоугольников внутри такого треугольника: S(x) = - (b/a) x^2 + b x, максимум в x = a/2, дающий S_max = (a/2)(b/2) = ab/4. В вашем случае ab/4 = 6*10/4 = 15 см².

Ответ: максимальная площадь прямоугольника равна 15 см². При этом x = 3 cm и y = 5 cm.