Доказать теорему серединного перпендикуляра

Задача: доказать теорему серединного перпендикуляра (о локации точек, равноудалённых от концов отрезка). Формулировка (обычно звучит так): Набор всех точек P, для которых PA = PB, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. И наоборот: любая точка на серединном перпендикуляре к AB равноудалена от A и от B. Доказательство в двух направлениях (пошагово, в общем виде, подходит для школьной геометрии): 1) Если P равноудален от A и от B (PA = PB), то P лежит на серединном перпендикуляре к AB. - Пусть M — середина отрезка AB (AM = MB, и A, M, B лежат на одной прямой). - Рассмотрим треугольники PAM и PBM. - PA = PB (условие). - AM = MB (M — середина AB). - PM — общая сторона. Следовательно, треугольники PAM и PBM равны по призраку (SSS). Следовательно, соответствующие углы равны: ∠PMA = ∠PMB. - Так как MA и MB лежат на одной прямой AB и противоположны друг другу, сумма ∠PMA + ∠PMB равна 180°. Если эти углы равны, каждый из них равен 90°. Значит PM ⟂ AB. - Поскольку M — середина AB и PM ⟂ AB, прямая PM является серединным перпендикуляром к AB. Таким образом, точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB. 2) Если P лежит на серединном перпендикуляре к AB (PM ⟂ AB и AM = MB). - В этом случае: AM = MB (M — середина AB) и PM — общая сторона. - Угол ∠PMA и угол ∠PMB оба являются углами между PM и прямой AB, причём PM ⟂ AB, значит оба угла по 90°. - По SAS/правилу равенства треугольников PAM и PBM (P на одной стороне, A и B по разным концам отрезка AB) получаем PA = PB. - Поэтому любая точка P на серединном перпендикуляре к AB действительно равноудалена от A и от B. Дополнительный удобный способ: координатный доказательство. - Пусть A = (0, 0), B = (b, 0) с b > 0. Тогда M = (b/2, 0). - Пусть P = (x, y). Условие PA = PB даёт: sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((x − b)^2 + y^2). После возведения в квадрат получаем x^2 + y^2 = (x − b)^2 + y^2, что эквивалентно x^2 = x^2 − 2bx + b^2, следовательно 2bx = b^2, и x = b/2. - Значит x-проекция любой такой точки P равна b/2, то есть она лежит на вертикальной прямой x = b/2 — это и есть серединный перпендикуляр к AB (вертикальная линия, проходящая через середину AB). Итог: теорема верна. Любая точка, равноудалённая от концов отрезка AB, лежит на серединном перпендикуляре к AB, и любая точка на серединном перпендикуляре обладает равной удалённостью от A и от B. Если нужно, могу привести схему или рисунок, а также кратко обсудить corollaries, например связь серединных перпендикуляров и центра описанной окружности треугольника.