сколько будет √155

Задача: найти значение sqrt(155).

Кратко важное:

• 155 = 5 · 31, не содержит квадратного множителя, поэтому корень не сокращается до рационального выражения.
• Ожидаем, что sqrt(155) между 12 и 13, потому что 12^2 = 144, 13^2 = 169.

Пошаговое решение методом Ньютона (для точного приближенного значения)

1. Выбор начального приближения: Пусть x0 = 12.5. По формуле Ньютона для корня из числа A: x_{n+1} = (x_n + A / x_n) / 2. Тогда x1 = (12.5 + 155 / 12.5) / 2 = (12.5 + 12.4) / 2 = 12.45.

2. Следующая итерация: Нужно найти 155 / x1 = 155 / 12.45. Можно заметить, что 12.45^2 = 155.0025, значит 155 / 12.45 = 12.45 − (155.0025 − 155) / 12.45 = 12.45 − 0.0025 / 12.45 ≈ 12.4497992. Тогда x2 = (12.45 + 12.4497992) / 2 ≈ 12.4498996.

3. Проверка: x2^2 ≈ 12.4498996^2 ≈ 155.000000… (очень близко к 155). Дальшие итерации дают изменение на десятки/сотые долей тысячной и более незначимо.

Итоговое приближенное значение

• sqrt(155) ≈ 12.4498996.
• На четыре знака после запятой: sqrt(155) ≈ 12.4499.
• Это число irrational, точного рационального представления нет.

Альтернативный простой способ (бинационная аппроксимация)

• Запишем sqrt(155) как sqrt(144 + 11) = 12 sqrt(1 + 11/144).
• Используем разложение sqrt(1 + x) ≈ 1 + x/2 − x^2/8 для малых x, где x = 11/144 ≈ 0.07639.
• Получаем примерно: sqrt(1 + x) ≈ 1 + 0.038194 − 0.000730 ≈ 1.037464.
• Тогда sqrt(155) ≈ 12 · 1.037464 ≈ 12.44957.
• Этот результат близок к истинному, но чуть менее точный; третий порядок надул точность до ~12.4499.

Ответ: sqrt(155) примерно 12.4498996 (округленно 12.4499).