Развертка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10. Найдите площадь полной поверхности цилиндра8387

Задача по геометрии, класс 11. Разберём подробно.

Дано:

• Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат.
• Диагональ квадрата равна 10.

Обозначим:

• h — высота цилиндра.
• r — радиус основания.

Факты:

• Боковая поверхность цилиндра при развертке образует прямоугольник со сторонами h и 2πr.
• Так как развертка — квадрат, эти стороны равны: h = 2πr.
• Диагональ квадрата равна d = s√2, где s — сторона квадрата. Здесь s = h (или s = 2πr), значит d = h√2.

Решение:

1. По условию диагональ квадрата равна 10, значит h√2 = 10, следовательно h = 10/√2 = 5√2.

2. Из условия квадрата: h = 2πr, следовательно r = h/(2π) = (5√2)/(2π).

3. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух оснований: S = площадь боковой поверхности + площадь двух оснований S = 2πrh + 2πr^2.

4. Подстановка значений:

   • Боковая поверхность: 2πrh = 2π · r · h. r = (5√2)/(2π), h = 5√2. 2πrh = 2π · (5√2/(2π)) · 5√2 = 50.
   • Площадь двух оснований: 2πr^2. r^2 = [(5√2)/(2π)]^2 = 25/(2π^2). 2πr^2 = 2π · 25/(2π^2) = 25/π.

5. Итог: S = 50 + 25/π квадратных единиц. Приближённо: S ≈ 50 + 7.96 ≈ 57.96.

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна 50 + 25/π ≈ 57.96 квадратных единиц.