Диагонали параллелограм а АБСД пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник А1Б1С1Д1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОД, - параллелограмм

Решение. Дано: параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. A1, B1, C1, D1 — середины отрезков OA, OB, OC, OD соответственно. Нужно доказать, что quadrilateral A1B1C1D1 — параллелограмм. 1) Заметим, что в параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах. Значит O — середина AC и O — середина BD. Следовательно OA и OC лежат на одной прямой (OA = −OC), а OB и OD лежат на одной прямой (OB = −OD). 2) Введём координаты с точкой O в качестве начала координат. Обозначим вектора OA = a и OB = b. Тогда OC = −a и OD = −b. 3) Середины отрезков дают: - A1 — середина OA = a/2 - B1 — середина OB = b/2 - C1 — середина OC = −a/2 - D1 — середина OD = −b/2 4) Рассмотрим диагонали нового четырёхугольника A1C1 и B1D1: - A1C1 имеет концы a/2 и −a/2, значит её прямая проходит через O, а середина этой диагонали — O. - B1D1 имеет концы b/2 и −b/2, значит её прямая проходит через O, а середина этой диагонали — O. Таким образом диagonали A1C1 и B1D1 пересекаются в их общем середине O. 5) Следовательно диагонали A1B1C1D1 бисectятся попарно, значит A1B1C1D1 — параллелограмм (свойство: четырехугольник с бисектирующимися диагоналями). Дополнительный взгляд на стороны: - A1B1 = B1 − A1 = (b/2) − (a/2) = (b − a)/2 - C1D1 = D1 − C1 = (−b/2) − (−a/2) = (a − b)/2 = −A1B1 hence A1B1 ∥ C1D1 и |A1B1| = |C1D1|. - B1C1 = C1 − B1 = (−a/2) − (b/2) = −(a + b)/2 - D1A1 = A1 − D1 = (a/2) − (−b/2) = (a + b)/2 = −B1C1 hence B1C1 ∥ D1A1 и |B1C1| = |D1A1|. Оба признака подтверждают, что A1B1C1D1 — параллелограмм. Итого: построение A1, B1, C1, D1 как середины OA, OB, OC, OD приводит к тому, что A1B1C1D1 является параллелограммом.