Диагонали параллелограм а АБСД пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник А1Б1С1Д1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОД, - параллелограмм

Решение.

Дано: параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. A1, B1, C1, D1 — середины отрезков OA, OB, OC, OD соответственно. Нужно доказать, что quadrilateral A1B1C1D1 — параллелограмм.

1. Заметим, что в параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах. Значит O — середина AC и O — середина BD. Следовательно OA и OC лежат на одной прямой (OA = −OC), а OB и OD лежат на одной прямой (OB = −OD).

2. Введём координаты с точкой O в качестве начала координат. Обозначим вектора OA = a и OB = b. Тогда OC = −a и OD = −b.

3. Середины отрезков дают:

   • A1 — середина OA = a/2
   • B1 — середина OB = b/2
   • C1 — середина OC = −a/2
   • D1 — середина OD = −b/2

4. Рассмотрим диагонали нового четырёхугольника A1C1 и B1D1:

   • A1C1 имеет концы a/2 и −a/2, значит её прямая проходит через O, а середина этой диагонали — O.
   • B1D1 имеет концы b/2 и −b/2, значит её прямая проходит через O, а середина этой диагонали — O.

   Таким образом диagonали A1C1 и B1D1 пересекаются в их общем середине O.

5. Следовательно диагонали A1B1C1D1 бисectятся попарно, значит A1B1C1D1 — параллелограмм (свойство: четырехугольник с бисектирующимися диагоналями).

Дополнительный взгляд на стороны:

• A1B1 = B1 − A1 = (b/2) − (a/2) = (b − a)/2
• C1D1 = D1 − C1 = (−b/2) − (−a/2) = (a − b)/2 = −A1B1 hence A1B1 ∥ C1D1 и |A1B1| = |C1D1|.
• B1C1 = C1 − B1 = (−a/2) − (b/2) = −(a + b)/2
• D1A1 = A1 − D1 = (a/2) − (−b/2) = (a + b)/2 = −B1C1 hence B1C1 ∥ D1A1 и |B1C1| = |D1A1|.

Оба признака подтверждают, что A1B1C1D1 — параллелограмм.

Итого: построение A1, B1, C1, D1 как середины OA, OB, OC, OD приводит к тому, что A1B1C1D1 является параллелограммом.