1. Выполните возведение в степень: а) 4 i ^ 4 в) 35 ^ 2 д) 2 ^ 5 ж) 8 ^ 3 и) 18 ^ 2 л) 0 ^ 9 H) 10 ^ 5 6) 13 ^ 2 г) 7 ^ 4 e) 5 ^ 4 3) 1 ^ 9 к) 6 ^ 3 м) 9 ^ 4 0) 15 ^ 2 2.…

Отлично, разберем задачу по пунктам и с пошаговыми объяснениями. Везде “Box” означает умножение, а i — мнимая единица.

1. Выполните возведение в степень

a) 4 i^4

• i^2 = -1, следовательно i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1
• 4 · i^4 = 4 · 1 = 4 Ответ: 4

в) 35^2

• 35^2 = 1225 Ответ: 1225

д) 2^5

• 2^5 = 32 Ответ: 32

ж) 8^3

• 8^2 = 64, 8^3 = 512 Ответ: 512

и) 18^2

• 18^2 = 324 Ответ: 324

л) 0^9

• 0 в любой положительной степени равен 0 Ответ: 0

H) 10^5

• 10^5 = 100000 Ответ: 100000

6. 13^2

• 13^2 = 169 Ответ: 169

г) 7^4

• 7^2 = 49, 49^2 = 2401 Ответ: 2401

e) 5^4

• 5^2 = 25, 25^2 = 625 Ответ: 625

3. 1^9

• Любая единица в любой степени — 1 Ответ: 1

к) 6^3

• 6^3 = 216 Ответ: 216

м) 9^4

• 9^2 = 81, 81^2 = 6561 Ответ: 6561

0. 15^2

• 15^2 = 225 Ответ: 225

2. Вычислите

a) 7 Box 4^2 * i

• Box — умножение. 4^2 = 16. 7 · 16 · i = 112i Ответ: 112i

в) 8^2 + 2^3

• 8^2 = 64, 2^3 = 8. 64 + 8 = 72 Ответ: 72

д) (9 + 4)^2 * i

• (9 + 4) = 13, 13^2 = 169. 169 · i = 169i Ответ: 169i

6. (5 Box 3)^2

• 5 Box 3 = 5·3 = 15. 15^2 = 225 Ответ: 225

г) 9^2 + 4^2

• 9^2 = 81, 4^2 = 16. 81 + 16 = 97 Ответ: 97

e) 11^2 - 5^2

• 11^2 = 121, 5^2 = 25. 121 - 25 = 96 Ответ: 96

3. Представьте произведение в виде степени

a) pp²

• p · p² = p³ Ответ: p³

в) qq

• q · q = q² Ответ: q²

д) 148

• Это просто число; как степень: 148¹ Ответ: 148¹ (то есть 148)

ж) к5k6k8

• k⁵ · k⁶ · k⁸ = k^(5+6+8) = k^19 Ответ: k^19

и) 4^3 Box 4^9 Box 4

• 4^3 · 4^9 · 4 = 4^(3+9+1) = 4^13 Ответ: 4^13

л) 2^8 Box 8

• 2^8 · 8; 8 = 2^3, поэтому = 2^(8+3) = 2^11 Ответ: 2^11

0. 85

• 85 как число можно записать как 85^1 Ответ: 85^1

64

• можно оставить как 64^1 или выразить через базу 2: 2^6 Ответ: 64^1 (или 2^6, если нужен базис 2)

6. z^5 * x^5

• Это можно переписать как (zx)^5 Ответ: (zx)^5

г) ky

• Это просто произведение двух переменных. Можно записать как (ky)^1 Ответ: (ky)^1

e) rot6

• Здесь не совсем ясно: как трактовать. Если rot означает переменную r и 6 — показатель степени, то можно принять за r^6.Если же имеется в виду набор символов, нужно уточнение. Предложение: считать как r^6 (то есть выражение rot6 = r^6). Подтвердите, пожалуйста.

3. u^beta * p^8 * s^6

• Без конкретных числовых степеней это просто произведение степеней: u^β · p^8 · s^6. Можно оставить как (u^β)(p^8)(s^6) или, если β задано, привести к одному базису при условии коммутативности (например, если β = 1 можно записать как (up)^8? Нет, здесь разных баз нет). Оставляем в виде произведения степеней.

κ) 8^9 Box 4^9 Box 2^9

• 8^9 · 4^9 · 2^9 = (8 · 4 · 2)^9 = 64^9. Также можно выразить через базу 2: (2^3)^9 · (2^2)^9 · (2^1)^9 = 2^(27+18+9) = 2^54 Ответ: 64^9 или 2^54 (эквивалентно)

м) 81a^4

• 81 = 3^4, поэтому 81 a^4 = (3^4) a^4 = (3a)^4 Ответ: (3a)^4

ж) 16c^4

• 16 = 2^4, значит 16 c^4 = (2^4) c^4 = (2c)^4 Ответ: (2c)^4

4. Упростите выражение

a) c^9 Box (c^5)^5

• (c^5)^5 = c^(5·5) = c^25. Умножаем на c^9: c^(9+25) = c^34 Ответ: c^34

в) (i^2)^7 Box (i^5)^2

• i^2 = -1, (-1)^7 = -1.
• i^5 = i^4·i = 1·i = i; (i^5)^2 = i^10 = (i^4)^2 · i^2 = 1·(-1) = -1.
• Произведение: (-1)·(-1) = 1 Ответ: 1

д) (b^2)^6 Box (g^4)^3

• (b^2)^6 = b^(12). (g^4)^3 = g^(12). Произведение: b^12 g^12 = (bg)^12 Ответ: (bg)^12

ж) 4^5 Box (4^3)^4

• (4^3)^4 = 4^(3·4) = 4^12. Умножаем на 4^5: 4^(5+12) = 4^17 Ответ: 4^17

и) (8^2)^3 Box 64

• (8^2)^3 = 8^(2·3) = 8^6. 64 = 8^2. Произведение: 8^6 · 8^2 = 8^8 Ответ: 8^8

6. (m^3)^8 Box (n^4)^6

• (m^3)^8 = m^(24). (n^4)^6 = n^(24). Произведение: m^24 n^24 = (mn)^24 Ответ: (mn)^24

r) (d^2 * d^6)^4 8

• (d^2 · d^6) = d^8. (d^8)^4 = d^32. Затем умножаем на 8: 8 · d^32 Ответ: 8 d^32 Примечание: здесь 8 добавлено как отдельный множитель. Если нужно получить одну степенную форму, нужно знать, может ли 8 быть представлено как степенная часть от d (например, если d = 2 и базис общий). Уточните условие, если требуется одна база.

e) (n * n^7)^8

• n · n^7 = n^(1+7) = n^8. Затем (n^8)^8 = n^(64) Ответ: n^64

3. (9^9)^2 Box 81^7

• (9^9)^2 = 9^(18). 81^7 = (3^4)^7 = 3^28. Подставим 9 = 3^2: 9^18 = (3^2)^18 = 3^36. Итого 3^36 · 3^28 = 3^64 Ответ: 3^64

κ) (8^3)^4 Box

• Здесь после Box ничего не указано. Нужна вторая часть выражения для завершения. Если иметь в виду просто (8^3)^4, то это 8^(3·4) = 8^12. Но без второго множителя не могу поставить точный ответ. Пожалуйста, уточните, что стоит после Box.

м) 8^9 Box 4^9 Box 2^9

• 8 = 2^3, 4 = 2^2, 2 = 2^1. Тогда二: (2^3)^9 · (2^2)^9 · (2^1)^9 = 2^(27+18+9) = 2^54 Ответ: 2^54 Альтернатива: можно также записать как (8 · 4 · 2)^9 = 64^9

м) 81a^4

• Как выше: 81 = 3^4, поэтому 81a^4 = (3a)^4 Ответ: (3a)^4

ж) 16c^4

• 16 = 2^4, поэтому 16c^4 = (2c)^4 Ответ: (2c)^4

4. Упростите выражение (продолжение)

a) c^9 · (c^5)^5

• как выше: c^34 Ответ: c^34

в) (i^2)^7 · (i^5)^2

• как выше: 1 Ответ: 1

д) (b^2)^6 · (g^4)^3

• как выше: (bg)^12 Ответ: (bg)^12

ж) 4^5 · (4^3)^4

• как выше: 4^17 Ответ: 4^17

и) (8^2)^3 · 64

• как выше: 8^6 · 64 = 8^8 Ответ: 8^8

6. (m^3)^8 · (n^4)^6

• как выше: (mn)^24 Ответ: (mn)^24

r) (d^2 · d^6)^4 · 8

• как выше: 8 d^32 Ответ: 8 d^32

e) (n · n^7)^8

• как выше: n^64 Ответ: n^64

κ) (8^9) · (4^9) · (2^9)

• как выше: 2^54 Ответ: 2^54

к) (8^3)^4 · Box ???

• здесь после Box что-то пропущено. Пожалуйста, пришлите полный текст, чтобы завершить.

Итоговые замечания и просьба на уточнение

• В некоторых пунктах текста встречаются неполные или неоднозначные фрагменты (например, rot6, u^beta, а также последний пункт κ) κ) и пункт к) в конце группы 3). Чтобы дать точные ответы по этим позициям, прошу прислать более ясную формулировку — что именно стоит после Box и какие именно переменные/основания нужно объединять.
• Также часть 3 и часть 4 содержат варианты, где можно трактовать одинаковую запись разными способами (например, как выразить произведение как одну степень с общим базисом). Я могу привести оба варианта и выбрать тот, который чаще встречается в вашем курсе, если скажете, какой стиль предпочитаете.

Если хотите, могу привести все решения в виде компактной таблицы по каждому пункту и выгрузить отдельно для занятий на печать. Также могу адаптировать стиль объяснений под ваш класс (младшая школа, средняя школа) — скажите, какой уровень вам нужен.