х²=-25

Задача: x^2 = -25

Ключевые моменты:

• В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому в вещественных числах решений нет.
• Если разрешены комплексные числа, то решения есть: x = ±5i.

Пошаговое решение (для общего случая, подходящий для средней школы):

1. Рассматриваем вещественные числа

• x^2 всегда ≥ 0 для любого real x.
• Уравнение x^2 = -25 требует, чтобы квадрат был отрицательным (-25), что невозможно в вещественных числах.
• Вывод: решений в вещественных числах нет.

2. Расширяем к комплексным числам

• Введём мнимую единицу i, где i^2 = -1.
• Тогда -25 можно записать как (-5)^2 · i^2 = 25 · (-1) = -25, и корень из -25 можно записать как ±5i.
• Формально: x^2 = -25 → x = ±√(-25) = ±5i.

3. Проверка (проверочный шаг)

• Подставим x = 5i: (5i)^2 = 25 i^2 = 25(-1) = -25.
• Подставим x = -5i: (-5i)^2 = 25 i^2 = -25.
• Оба значения подходят.

Итог:

• В вещественных числах решений нет.
• В комплексных числах решения: x = 5i и x = -5i.