Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.
Решение пошагово
Обозначим стороны прямоугольника: меньшая сторона a = 8 см, другая сторона b (длины a и b образуют диагонали). Пусть диагонали идут из центра по векторам (a, b) и (-a, b).
Угол между диагоналями равен 60°. Косинус этого угла равен скалярному произведению диагоналей, поделённому на произведение их длин: cos(60°) = 1/2 = ((a, b) · (-a, b)) / (√(a^2 + b^2) · √(a^2 + b^2)) = (-a^2 + b^2) / (a^2 + b^2).
Значит: (b^2 - a^2) / (a^2 + b^2) = 1/2.
Решаем уравнение: 2(b^2 - a^2) = a^2 + b^2 2b^2 - 2a^2 = a^2 + b^2 b^2 = 3a^2.
Значит b = a√3. Так как a = 8, имеем b = 8√3.
Диагональ прямоугольника найдём по формуле: d = √(a^2 + b^2) = √(a^2 + 3a^2) = √(4a^2) = 2a.
Подставим a = 8: d = 2 · 8 = 16 см.
Ответ: диагональ прямоугольника равна 16 см.
Дополнительно: при угле между диагоналями 60° отношение длин сторон удовлетворяет b = a√3, и диагональ всегда равна удвоенной меньшей стороне.
