общий интеграл дифференциального уравнения dy/ √1 - y² а = x² dx имеет вид

Задача записана как дифференциальное уравнение в разделимой форме: a dy / sqrt(1 - y^2) = x^2 dx где a — константа (вероятно, не равная нулю).

Пошаговое решение:

1. Разделим переменные и получим a ∙ dy / sqrt(1 - y^2) = x^2 dx.

2. Интегрируем обе стороны: Левая часть: ∫ a dy / sqrt(1 - y^2) = a ∙ arcsin(y) + C1. Правая часть: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C2.

Объединяем константы: a ∙ arcsin(y) = x^3/3 + C, где C — произвольная константа интегрирования (C = C2 − C1).

3. Запишем в неявном виде (наиболее надёжно): a ∙ arcsin(y) − x^3/3 = C.

4. При желании можно выразить явным образом через y: arcsin(y) = x^3/(3a) + C1, где C1 = C/a. y = sin( x^3/(3a) + C1 ).

Ответ

• Неявная form: a ∙ arcsin(y) − x^3/3 = C.
• Явная форма: y(x) = sin( x^3/(3a) + C1 ), где C1 — произвольная константа.

Примечания

• Предполагается a ≠ 0. При a = 0 уравнение превращается в 0 = x^2 dx, что не имеет обычного решения в общем виде.
• Для любого решения выполняется ограничение |y| ≤ 1, поскольку y = sin(...).