(x²-1) (x²+1)-4(x²-11)=0
Решение задачи: (x^2 − 1)(x^2 + 1) − 4(x^2 − 11) = 0
- Упростим выражение: ( x^2 − 1 )( x^2 + 1 ) = x^4 − 1 И вычитание 4(x^2 − 11) даёт: x^4 − 1 − 4x^2 + 44 = x^4 − 4x^2 + 43
Итак, получаем степенной уравнение четвертой степени: x^4 − 4x^2 + 43 = 0
Введём замену y = x^2. Тогда получаем квадратное уравнение: y^2 − 4y + 43 = 0
Найдём корни по дискриминанту: D = (−4)^2 − 4·1·43 = 16 − 172 = −156 < 0 Значит, реальных решений у y нет. Но уравнение всё равно можно решить в комплексной области: y = [4 ± √(−156)] / 2 = 2 ± i√39
Теперь вернёмся к x: x^2 = y. Значит, для каждого значения y найдём квадратные корни: x^2 = 2 + i√39 или x^2 = 2 − i√39
Корни x выражаются через комплексные квадратные корни: x = ±√(2 + i√39) и x = ±√(2 − i√39)
Можно привести явное представление корней через вещественные и мнимые части: Пусть a = 2 + i√39. Тогда √a = u + iv, где u = √((√43 + 2)/2), v = √((√43 − 2)/2)
Тогда √(2 + i√39) = u + iv, √(2 − i√39) = u − iv, где √43 ≈ 6.557…
Приближённо: u ≈ 2.068, v ≈ 1.509
Следовательно, все корни: x ≈ ±(2.068 + 1.509i) и x ≈ ±(2.068 − 1.509i)
- Вывод:
- Реальных корней у данного уравнения нет.
- Существуют четыре комплексных корня: x = ±√(2 + i√39) и x = ±√(2 − i√39), которые можно записать в виде ±(u ± iv) с u ≈ 2.068 и v ≈ 1.509.
