Решить

Ниже подробное решение по всем пунктам вашего варианта. Я поясню шаги и дам ответы.

1. Найдите наибольший общий делитель (НОД)

• 1. НОД(18, 30)
  • 30 = 18 + 12
  • 18 = 12 + 6
  • 12 = 2·6
  • НОД = 6
• 2. НОД(14, 42)
  • 42 = 3·14
  • НОД = 14
• 3. НОД(60, 105)
  • 105 = 60 + 45
  • 60 = 45 + 15
  • 45 = 3·15
  • НОД = 15
• 4. НОД(480, 288)
  • 480 = 288 + 192
  • 288 = 1·192 + 96
  • 192 = 2·96 + 0
  • НОД = 96
• 5. НОД(36, 72, 90)
  • НОД(36, 72) = 36
  • НОД(36, 90) = 18
  • НОД тройки = 18

Ответы: 6; 14; 15; 96; 18.

2. Составьте все пары взаимно простых чисел из 14, 18, 55, 35 Проверяем пары (неупорядоченные):

• gcd(14,18) = 2 → не взаимно простые
• gcd(14,55) = 1 → взаимно простые
• gcd(14,35) = 7 → не взаимно простые
• gcd(18,55) = 1 → взаимно простые
• gcd(18,35) = 1 → взаимно простые
• gcd(55,35) = 5 → не взаимно простые

Итак, все пары взаимно простые: (14, 55), (18, 55), (18, 35).

3. Запишите все правильные дроби со знаменателем 20, у которых числитель и знаменатель взаимно простые Правильная дробь: числитель меньше знаменателя, gcd(num, 20) = 1.

Числители n, где 1 ≤ n ≤ 19 и gcd(n, 20) = 1: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19

Следовательно, все такие дроби: 1/20, 3/20, 7/20, 9/20, 11/20, 13/20, 17/20, 19/20

4. Докажите, что числа 715 и 567 взаимно простые Проведём Евклидов алгоритм:

• 715 = 1·567 + 148
• 567 = 3·148 + 123
• 148 = 1·123 + 25
• 123 = 4·25 + 23
• 25 = 1·23 + 2
• 23 = 11·2 + 1
• 2 = 2·1 + 0

НОД = 1, значит числа взаимно простые. Дополнительно можно факторизовать: 715 = 5·11·13, 567 = 3^4·7 — общих множителей нет.

5. Гостиница: 108 кроватей и 72 шкафа, поровну распределили по номерам. Сколько номеров, если их больше 30? Если распределение по номерам должно быть целым для обоих типов мебели, количество номеров N должно делить и 108, и 72. Следовательно, N — делитель общего наибольшего общего делителя этих чисел, то есть N делит gcd(108, 72).

• gcd(108, 72) = 36 (поскольку 108 = 3·36, 72 = 2·36)
• Возможные количества номеров — делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Требование «их больше 30» оставляет только 36

Ответ: в гостинице 36 номеров.

Если нужно, могу привести дополнительные пояснения к любому пункту или привести альтернативные способы решения (например, через простые разложения).