Решить

Ниже подробное решение по всем пунктам вашего варианта. Я поясню шаги и дам ответы. 1) Найдите наибольший общий делитель (НОД) - 1) НОД(18, 30) - 30 = 18 + 12 - 18 = 12 + 6 - 12 = 2·6 - НОД = 6 - 2) НОД(14, 42) - 42 = 3·14 - НОД = 14 - 3) НОД(60, 105) - 105 = 60 + 45 - 60 = 45 + 15 - 45 = 3·15 - НОД = 15 - 4) НОД(480, 288) - 480 = 288 + 192 - 288 = 1·192 + 96 - 192 = 2·96 + 0 - НОД = 96 - 5) НОД(36, 72, 90) - НОД(36, 72) = 36 - НОД(36, 90) = 18 - НОД тройки = 18 Ответы: 6; 14; 15; 96; 18. 2) Составьте все пары взаимно простых чисел из 14, 18, 55, 35 Проверяем пары (неупорядоченные): - gcd(14,18) = 2 → не взаимно простые - gcd(14,55) = 1 → взаимно простые - gcd(14,35) = 7 → не взаимно простые - gcd(18,55) = 1 → взаимно простые - gcd(18,35) = 1 → взаимно простые - gcd(55,35) = 5 → не взаимно простые Итак, все пары взаимно простые: (14, 55), (18, 55), (18, 35). 3) Запишите все правильные дроби со знаменателем 20, у которых числитель и знаменатель взаимно простые Правильная дробь: числитель меньше знаменателя, gcd(num, 20) = 1. Числители n, где 1 ≤ n ≤ 19 и gcd(n, 20) = 1: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 Следовательно, все такие дроби: 1/20, 3/20, 7/20, 9/20, 11/20, 13/20, 17/20, 19/20 4) Докажите, что числа 715 и 567 взаимно простые Проведём Евклидов алгоритм: - 715 = 1·567 + 148 - 567 = 3·148 + 123 - 148 = 1·123 + 25 - 123 = 4·25 + 23 - 25 = 1·23 + 2 - 23 = 11·2 + 1 - 2 = 2·1 + 0 НОД = 1, значит числа взаимно простые. Дополнительно можно факторизовать: 715 = 5·11·13, 567 = 3^4·7 — общих множителей нет. 5) Гостиница: 108 кроватей и 72 шкафа, поровну распределили по номерам. Сколько номеров, если их больше 30? Если распределение по номерам должно быть целым для обоих типов мебели, количество номеров N должно делить и 108, и 72. Следовательно, N — делитель общего наибольшего общего делителя этих чисел, то есть N делит gcd(108, 72). - gcd(108, 72) = 36 (поскольку 108 = 3·36, 72 = 2·36) - Возможные количества номеров — делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - Требование «их больше 30» оставляет только 36 Ответ: в гостинице 36 номеров. Если нужно, могу привести дополнительные пояснения к любому пункту или привести альтернативные способы решения (например, через простые разложения).