почему в воздухе кусочек ваты падает с меньшим ускорением чем железный шарик

Классическая причина: сопротивление воздуха.

Ключевые идеи

• В воздухе на любой падающий объект действуют две силы: сила тяжести mg (вниз) и сила сопротивления воздуха Fd (вверх).
• Сопротивление воздуха растёт с ускорением скорости примерно как v^2 (для большинства школьной задачи).
• Поэтому ускорение до и во время падения равно a = g − Fd/m. Чем больше Fd относительно массы m, тем меньше ускорение.
• Условия зависят от отношения массы к площади поперечного сечения. У ватного куска масса очень малая, площадь поперечного сечения может быть относительно большой по сравнению с массой. У железного шара масса намного больше, поэтому отношение m/A больше, и.drag влияет на него меньше. В итоге ватный кусок теряет больше ускорения из-за воздуха и падает медленнее.

Пошаговое решение (модель для средней школы)

1. Силы на падающий объект:

• Вес: Fg = m g (вниз).
• Сопротивление воздуха: Fd = 1/2 ρ Cd A v^2 (вверх), где ρ — плотность воздуха, Cd — коэффициент сопротивления, A — площадь поперечного сечения, v — скорость.

2. Уравнение движения: m dv/dt = m g − Fd = m g − 1/2 ρ Cd A v^2.

3. Приводим к удобной форме: d v/dt = g − k v^2, где k = (ρ Cd A) / (2 m).

4. Решение и терминальная скорость: Для начального условия v(0) = 0 решение даёт: v(t) = v_t tanh(√(g k) t), где терминальная скорость v_t = √(g/k) = √((2 m g) / (ρ Cd A)). Но главное для понимания: когда v становится близкой к v_t, ускорение становится близким к нулю.

5. Что это значит для параллелей “вата vs железный шар”:

• Терминальная скорость пропорциональна корню из m/A: v_t = √(2 m g / (ρ Cd A)).
• Если масса m мала, а площадь A относительна велика (или Cd достаточен), то m/A минимально, и v_t становится маленькой. Так ватка достигает своей терминальной скорости быстрее и падает медленнее.
• Железный шар обычно имеет значительно большую плотность, поэтому для него m/A больше. Это даёт большую терминальную скорость и меньшую долю сопротивления на единицу массы, и, как следствие, ускорение остаётся ближе к g дольше.

Иллюстративный пример (приближённые числа)

• Железный шар: радиус about 1 cm. масса примерно 0.03 кг, площадь поперечного сечения примерно 3,1e-4 м^2. При этом v_t может быть порядка 60 м/с.
• Ватный кусок того же размера: масса может быть примерно 0.0001 кг, площадь поперечного сечения существенно больше (из-за объёма и формы), например A ≈ 0.003 м^2. Тогда v_t примерно около 1 м/с. Из-за малого m и большого A ватка достигает низкой терминальной скорости, значит во время падения её ускорение заметно меньше по мере набора скорости, и она падает значительно медленнее, чем железный шар.

Дополнительные нюансы

• Реальная форма и турбулентность мешают идеальной модели: Cd может меняться в зависимости от ориентации и объёма, ватка может вилять, сопротивление может быть не полностью квадратичным по скорости.
• В вакууме сопротивления воздуха нет, и оба объекта падают с одинаковым ускорением g.
• Принципиально можно сравнивать любые два тела по отношению m/A: чем меньше это отношение, тем быстрее сопротивление воздуха станет заметным по отношению к весу, и тем медленнее будут падать.

Коротко: ватный кусок имеет относительно маленькую массу и относительно большую площадь поперечного сечения, поэтому сопротивление воздуха сильнее уменьшает его ускорение по сравнению с железным шариком. Поэтому в обычном воздухе ватка падает медленнее.