Построй пораболу y = 2x²+x+4

Ниже подробное решение и объяснение, как построить график параболы y = 2x^2 + x + 4.

1. Исходные параметры

• Коэффициенты: a = 2, b = 1, c = 4.
• Параболка открывается вверх (поскольку a > 0).

2. Вершина графика и ось симметрии

• x-координата вершины: h = −b/(2a) = −1/(2·2) = −1/4.
• y-координата вершины: k = f(h) = 2(h)^2 + b·h + c. Вычислим: h = −1/4, h^2 = 1/16, 2·(1/16) = 1/8, b·h = 1·(−1/4) = −1/4. k = 1/8 − 1/4 + 4 = 1/8 − 2/8 + 32/8 = 31/8 = 3.875.
• Значит, вершина параболы: (-1/4, 31/8). Ось симметрии: x = −1/4.

3. Приведение к вершинной форме

• Переобразуем y = 2x^2 + x + 4 в форму y = a(x − h)^2 + k.
• Выпишем: y = 2[x^2 + (1/2)x] + 4.
• Дополняем квадрат: x^2 + (1/2)x = (x + 1/4)^2 − (1/4)^2 = (x + 1/4)^2 − 1/16.
• Подставляем: y = 2[(x + 1/4)^2 − 1/16] + 4 = 2(x + 1/4)^2 − 1/8 + 4 = 2(x + 1/4)^2 + 31/8.
• Вершинная форма: y = 2(x + 1/4)^2 + 31/8, вершина (-1/4, 31/8).

4. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y (x = 0): y = 2·0^2 + 0 + 4 = 4. Точка пересечения: (0, 4).
• Пересечения с осью x: дискриминант D = b^2 − 4ac = 1 − 4·2·4 = 1 − 32 = −31 < 0. Реальных корней нет, график не пересекает ось x. Поскольку a > 0 и дискриминант отрицателен, вся парабола лежит выше оси x.

5. Примеры точек для чертежа

• Точка вершины: (-0.25, 3.875).
• Точка на оси y: (0, 4).
• Можно взять симметричные точки вокруг вершины, например:
  • x = -0.75: y = 2(-0.75)^2 + (-0.75) + 4 = 2·0.5625 − 0.75 + 4 = 1.125 − 0.75 + 4 = 4.375.
  • x = 0.25: y = 2(0.25)^2 + 0.25 + 4 = 2·0.0625 + 0.25 + 4 = 0.125 + 0.25 + 4 = 4.375. Эти точки симметричны относительно оси x = −1/4.

6. Что получилось на графике

• Парабола открывается вверх.
• Минимальное значение y достигается в вершине: y_min = 31/8 ≈ 3.875.
• График не пересекает ось x (нет вещественных корней).
• Пересечение с осью y есть в точке (0, 4).

Нужна помощь с чертежом на конкретном листе или другой визуализацией (например, шкалы на оси)? Могу привести набор точек для точного чертежа или нарисовать график по шагам.