диагонали прямоугольника ABC пересекаются в точке O, угол ABO=36° найдите угол AOD

Задача по геометрии для восьмого класса.

Дано: прямоугольник ABCD, диагонали пересекаются в O. Угол ABO равен 36°. Нужно найти угол AOD.

Пояснения и шаги решения:

1. Пусть AB — бок прямоугольника ширины w, BC — высоты h. Угол ABO — угол между боком AB и диагональю BD (BO лежит на BD). Значит tan(∠ABO) = h/w. Обозначим ∠ABO как θ. Тогда tan θ = h/w и θ = 36°.

2. Угол AOD — это угол между диагоналями AC и BD (OA лежит на AC, OD лежит на BD). В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом φ, который можно выразить через t = h/w: tan φ = tan(угла между AC и BD) = 2t/(1 - t^2). Но t = tan θ, поэтому tan φ = tan(2θ). Следовательно φ = 2θ (для нужного диапазона углов).

3. Подстановка θ = 36° даёт φ = 2 · 36° = 72°.

Ответ: ∠AOD = 72°. Примечание: в прямоугольнике угол между диагоналями равен удвоенному углу между одной диагональю и страницой основания, то есть ∠AOD = 2 · ∠ABO.