решить модульное уравнение с параметром a |2x-a|=|x+1|

Задача: решить модульное уравнение с параметром a |2x - a| = |x + 1|

Цель: понять метод и получить решения в терминах a.

Решение по сути простое: если |u| = |v|, то u = v или u = -v.

Разберёмся двумя случаями.

1. Случай 1: 2x - a = x + 1 2x - a = x + 1 => x = a + 1

2. Случай 2: 2x - a = -(x + 1) 2x - a = -x - 1 => 3x = a - 1 => x = (a - 1) / 3

Итак, общее решение:

• x = a + 1
• x = (a - 1) / 3

Замечание по повторному корню:

• Для a = -2 оба выражения дают один и тот же корень: x = -1. Тогда решение единственное, а не два разных значения.

Проверка (быстрая верификация):

• Подставим x = a + 1: ||2(a+1) - a| = |a+2||, а |(a+1) + 1| = |a+2|. Соответствует.
• Подставим x = (a - 1)/3: 2x - a = (-a - 2)/3, x + 1 = (a + 2)/3. Магнитиды по модулю совпадают: |(-a - 2)/3| = |a + 2|/3 = |(a + 2)/3|.

Пример проверки:

• Пусть a = 0: решения x = a + 1 = 1 и x = (a - 1)/3 = -1/3. Проверим: для x = 1: |2*1 - 0| = 2, |1+1| = 2. Для x = -1/3: |2(-1/3) - 0| = 2/3, |-1/3 + 1| = 2/3. Оба верны.

Итог:

• Решения: x = a + 1 и x = (a - 1)/3.
• При a = -2 эти два решения совпадают и равно x = -1 (одно решение).