Решить уравнение sin(7π/2 + x) + 2cos2x =1 найти его корни на промежутке [3π;4π]

Решение задачи: sin(7π/2 + x) + 2 cos 2x = 1 на промежутке [3π, 4π] Пошаговый разбор 1) Приведём синус к функции cos - так как синус имеет период 2π, sin(7π/2 + x) = sin(3π/2 + x). - sin(3π/2 + x) = sin(3π/2) cos x + cos(3π/2) sin x = (-1) cos x + 0 = - cos x. Тогда уравнение становится: - cos x + 2 cos 2x = 1 или эквивалентно 2 cos 2x - cos x - 1 = 0. 2) Замена cos 2x через cos x cos 2x = 2 cos^2 x - 1. Подставим: 2(2 cos^2 x - 1) - cos x - 1 = 0 4 cos^2 x - cos x - 3 = 0. 3) Решение квадратичного уравнения по переменной y = cos x 4 y^2 - y - 3 = 0 Дискриминант Δ = 1 + 48 = 49, корни: y = (1 ± 7) / 8 → y1 = 1, y2 = -3/4. Отсюда получаем два случая для x. 4) По cos x = 1 cos x = 1 => x = 2πk. В интервале [3π, 4π] единственный подходящий x: x = 4π. 5) По cos x = -3/4 Обобщённо: x = ± arccos(-3/4) + 2πk. Найдем значения в [3π, 4π]. - arccos(-3/4) лежит в (π/2, π) и равно примерно 2.41886. Из вариантов ± arccos(-3/4) + 2πk в заданном интервал подходит только x = - arccos(-3/4) + 4π = 4π - arccos(-3/4). Используя тождество arccos(-t) = π - arccos(t), получаем x = 4π - (π - arccos(3/4)) = 3π + arccos(3/4). Итак, второй корень: x2 = 3π + arccos(3/4) ≈ 9.42478 + 0.722734 ≈ 10.14751. 6) Проверка концов и целостности - x = 4π подходит: sin(7π/2 + 4π) = sin(7π/2) = -1, cos(2x) = cos(8π) = 1, выражение = -1 + 2·1 = 1. - x2 ≈ 10.1475 удовлетворяет оригинальному уравнению (проверка по числам можно сделать отдельно). Ответ - Точные корни на [3π, 4π]: - x1 = 4π - x2 = 3π + arccos(3/4) (или эквивалентно x2 = 4π - arccos(-3/4)) - Приближённо: x1 = 4π ≈ 12.56637, x2 ≈ 10.14751.