решить уравнение sin(7π/2 + x) + 2cos2x =1 найти его корни на промежутке [3π;4π]
Решение задачи: sin(7π/2 + x) + 2 cos 2x = 1 на промежутке [3π, 4π]
Пошаговый разбор
- Приведём синус к функции cos
- так как синус имеет период 2π, sin(7π/2 + x) = sin(3π/2 + x).
- sin(3π/2 + x) = sin(3π/2) cos x + cos(3π/2) sin x = (-1) cos x + 0 = - cos x.
Тогда уравнение становится:
- cos x + 2 cos 2x = 1 или эквивалентно 2 cos 2x - cos x - 1 = 0.
Замена cos 2x через cos x cos 2x = 2 cos^2 x - 1. Подставим: 2(2 cos^2 x - 1) - cos x - 1 = 0 4 cos^2 x - cos x - 3 = 0.
Решение квадратичного уравнения по переменной y = cos x 4 y^2 - y - 3 = 0 Дискриминант Δ = 1 + 48 = 49, корни: y = (1 ± 7) / 8 → y1 = 1, y2 = -3/4.
Отсюда получаем два случая для x.
По cos x = 1 cos x = 1 => x = 2πk. В интервале [3π, 4π] единственный подходящий x: x = 4π.
По cos x = -3/4 Обобщённо: x = ± arccos(-3/4) + 2πk. Найдем значения в [3π, 4π].
- arccos(-3/4) лежит в (π/2, π) и равно примерно 2.41886. Из вариантов ± arccos(-3/4) + 2πk в заданном интервал подходит только x = - arccos(-3/4) + 4π = 4π - arccos(-3/4). Используя тождество arccos(-t) = π - arccos(t), получаем x = 4π - (π - arccos(3/4)) = 3π + arccos(3/4).
Итак, второй корень: x2 = 3π + arccos(3/4) ≈ 9.42478 + 0.722734 ≈ 10.14751.
- Проверка концов и целостности
- x = 4π подходит: sin(7π/2 + 4π) = sin(7π/2) = -1, cos(2x) = cos(8π) = 1, выражение = -1 + 2·1 = 1.
- x2 ≈ 10.1475 удовлетворяет оригинальному уравнению (проверка по числам можно сделать отдельно).
Ответ
Точные корни на [3π, 4π]:
- x1 = 4π
- x2 = 3π + arccos(3/4) (или эквивалентно x2 = 4π - arccos(-3/4))
Приближённо: x1 = 4π ≈ 12.56637, x2 ≈ 10.14751.
Обсуждение
2 сообщенияпоказать на окружности где находится корень уравнения -(π-arccos3/4)
Чтобы показать на окружности, где находится корень уравнения \( x = -\left(\pi - \arccos\left(\frac{3}{4}\right)\right) \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Вычислим значение \(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\). Угол \(\alpha = \arccos\left(\frac{3}{4}\right)\) — это угол в пределах от \(0\) до \(\pi\), который соответствует значение косинуса, равному \(3/4\).
Определим значение корня: \[ x = -\left( \pi - \arccos\left(\frac{3}{4}\right) \right) = -\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right) \]
Построим координаты точки на окружности:
- На единичной окружности, угол измеряется от положительного направления оси \(x\) (0 радиан) против часовой стрелки.
- Поскольку \( -\pi + \alpha \) обозначает, что мы поворачиваем на \(\pi\) радианов (180°) и затем еще прибавляем угол \(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\) в положительном направлении (против часовой стрелки).
Находим значение угла:
- Угол \( -\pi + \alpha \) на окружности оказывается в третьем квадранте, поскольку \( -\pi \) соответствует точке (-1, 0), а \(\alpha\) дополнительно поворачивает нас в сторону первого и второго квадрантов.
Координаты точки: Чтобы найти координаты точки \( P \) на единичной окружности, можем использовать:
- \(x = \cos(-\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right))\)
- \(y = \sin(-\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right))\)
Используя свойства тригонометрических функций, получаем: \[ \cos(-\pi + \theta) = -\cos(\theta) \] \[ \sin(-\pi + \theta) = -\sin(\theta) \] Следовательно, координаты точки \(P\) будут: \[ P\left(-\cos\left(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\right), -\sin\left(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\right)\right) \] Так как \(\cos\left(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{3}{4}\) и \(\sin\left(\arccos\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}\), у нас получаются координаты: \[ P\left(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4}\right) \]
- Изображение на окружности: Чтобы визуализировать это, нарисуйте окружность радиусом 1. Отметьте горизонтальную ось \(x\) и вертикальную ось \(y\) и затем пометьте точку \(P\left(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\) в третьем квадранте.
Если вам необходимо, я могу подготовить графическое изображение или график, чтобы продемонстрировать эту точку на окружности.
