Задача: к числу 1000 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число делилось на 2, 3, 6 и 9.
Коротко: число должно делиться на 18 (это лінія с 2 и 9, 6 тут выплывает из 2 и 3). Пусть слева стоит цифра L, справа цифра R. Получаемое число имеет вид: L 1 0 0 0 R, то есть N = 100000·L + 10000 + R. Но для практики удобнее использовать правила делимости на 9 и на 2.
Движемся по правилам делимости:
- Делимость на 2 требует, чтобы последняя цифра R была чётной: R ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
- Делимость на 9 требует, чтобы сумма цифр была кратна 9. Сумма цифр числа L1000R равна L + 1 + R. Значит L + R + 1 ≡ 0 (mod 9).
Итак нужно подобрать L ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и R ∈ {0,2,4,6,8} такие, чтобы L + R + 1 ≡ 0 (mod 9).
Перебираем варианты (быстро можно по модульной арифметике):
- R = 0 → L ≡ 8 (mod 9) → L = 8. Число: 810000.
- R = 2 → L ≡ 6 (mod 9) → L = 6. Число: 610002.
- R = 4 → L ≡ 4 (mod 9) → L = 4. Число: 410004.
- R = 6 → L ≡ 2 (mod 9) → L = 2. Число: 210006.
- R = 8 → L ≡ 0 (mod 9) → L = 9 (L не может быть 0, но может быть 9). Число: 910008.
Все эти пары дают число, делящееся на 18, то есть на 2 и на 9 (а значит и на 3 и на 6).
Примеры с проверкой:
- 210006: последняя цифра 6 (чётная), сумма цифр 2+1+0+0+0+6 = 9, кратна 9 → делится на 18. 210006 ÷ 18 = 11667.
- 810000: последняя цифра 0, сумма цифр 8+1+0+0+0+0 = 9 → делится на 18. 810000 ÷ 18 = 45000.
- Можно привести и другие варианты из списка выше.
Итого, подходящими решениями являются, например:
- 210006
- 410004
- 610002
- 810000
- 910008
Выберите любое из них — оно удовлетворяет условию задачи.
