Входная контрольная работа по геометрии 8 класс ВАРИАНТ 1 Часть 1. Условие к задаче писать не нужно. Можно нарисовать рисунок и записать только решение. 1. На прямой а отложили отрезок АВ=11 см и отрезок ВС=3,5 см. Чему может быть равна длина отрезка АС? 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 52°. Найдите градусные меры остальных углов. 3.Найдите градусные меры всех углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, если один из углов равен 54° 4.В равнобедренном треугольнике один из углов равен 68°. Найдите остальные два угла треугольника. Подумай, сколько решений имеет задача. Приведи все решения. Часть 2. Задачи с условием, рисунком и подробным решением. 1. Прямая касается окружности в точке К. Точка О - центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 61°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах. 2. В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине С равен 128°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. 3. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. высота, проведенная к основанню 9 см. Найдите боковую сторону.

Ниже подробные решения по каждому заданию. Я учитываю что это входная контрольная по геометрии 8 класс. Часть 1. Условия задачи писать не нужно (решения и объяснения) 1) На прямой a отложили отрезок AB = 11 см и BC = 3,5 см. Чему может быть равна длина AC? - Возможны две конфигурации точек на прямой: - B лежит между A и C: AC = AB + BC = 11 + 3,5 = 14,5 см. - C лежит между A и B: AB = AC + BC, значит AC = AB − BC = 11 − 3,5 = 7,5 см. - Ответ: AC может быть 14,5 см или 7,5 см. 2) При пересечении двух прямых один из углов равен 52°. Найдите градусные меры остальных углов. - Прямые пересекаются, образуя две пары вертикальных углов и две пары смежных, суммирующихся в 180°. - Значит: один угол 52°, противоположный ему угол тоже 52°, два остальных угла по 180° − 52° = 128°. - Ответ: 52°, 128°, 52°, 128°. 3) Найдите градусные меры всех углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, если один из углов равен 54°. - При пересечении параллельных прямых третьей прямой получается две пары попарно равных углов. Если один угол равен 54°, то его соседний по прямой — 126°, а вертикальные углы — снова 54° и 126°. - Ответ: углы равны 54° и 126° (на обоих местах пересечения). 4) В равнобедренном треугольнике один из углов равен 68°. Найдите остальные два угла треугольника. Подумай, сколько решений имеет задача. Приведи все решения. - В равнобедренном треугольнике равны две боковые стороны; соответственно равны и два базовых угла. - Случай A: данный угол — вершина треугольника (между равными сторонами). Тогда остальные углы равны и равны (180° − 68°)/2 = 56°. Решение: 68°, 56°, 56°. - Случай B: данный угол — один из оснований (равные углы). Тогда другой основанный угол равен 68°, а вершиной будет 180° − 2·68° = 44°. Решение: 44°, 68°, 68°. - Ответ: есть два решения — (68°, 56°, 56°) и (44°, 68°, 68°). Часть 2. Задачи с условием, рисунком и подробным решением 1) Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 61°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. - Теорема о касательной и секущей: угол между касательной в точке K и хордой KM равен углу, subtendированному этой же хордой MK в противоположной части круга (внешний опорный угол, инскованный на окружности). - Пусть этот угол прикасательной к хордe KM равен 61°. ТогдаInscribed угол, опирающийся на дугу MK, равен 61°. Центральный угол MOK, subtendирующий ту же дугу MK, равен 2·61° = 122°. - В треугольнике OMK стороны OM и OK равны радиусам, значит он равнобедренный и углы при основании M и K равны. - Сумма углов треугольника: ∠M + ∠K + ∠MOK = 180°, где ∠M = ∠K = x, ∠MOK = 122°. - 2x + 122° = 180° → 2x = 58° → x = 29°. - Ответ: ∠OMK = 29°. 2) В треугольнике A B C AB = BC. Внешний угол при вершине C равен 128°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах. - AB = BC значит основание треугольника — AC, а вершина-угол — B; следовательно ∠A = ∠C (основание равно). - Пусть ∠A = ∠C = x. Тогда ∠B = 180° − 2x. - Внешний угол при вершине C равен 128°. Внешний угол равен сумме remote interior углов: ∠A + ∠B = x + (180° − 2x) = 180° − x. - Значит 180° − x = 128° → x = 52°. - Тогда ∠B = 180° − 2x = 180° − 104° = 76°. - Ответ: 76°. 3) В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. высота, проведенная к основанию, равна 9 см. Найдите боковую сторону. - В равнобедренном треугольнике равны боковые стороны AB = BC (основание — AC). Подразумеваем, что высота опущена из вершины B (к основанию AC). - Так как один угол равен 120°, и равнобедренность задаёт, что вершина с равными сторонами — это B, то угол при вершине B равен 120° (если бы угол при основании был 120°, сумма углов бы превысила 180°). - Следовательно, ∠B = 120°, а основания A и C равны: ∠A = ∠C = (180° − 120°)/2 = 30°. - В треугольнике ABD, где D – середина основания AC и BD — высота, образуется прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°. Ладно: угол при A равен 30°, противолежащий ему угол в этом правоугольном треугольнике BD против AB — это угол при A, т. е. 30°. Соотношение сторон в таком треугольнике: гипотенуза AB равна удвоенной длине противолежащего к углу 30° катета BD. - Значит BD = AB/2. Но BD дано как высота: BD = 9 см. - Следовательно AB = 2·BD = 2·9 = 18 см. - Ответ: боковая сторона AB = BC = 18 см. Итоговые ответы (кратко) - Часть 1, 1: AC = 14,5 см или 7,5 см. - Часть 1, 2: 52°, 128°, 52°, 128°. - Часть 1, 3: 54° и 126°. - Часть 1, 4: 68°/56°/56°, или 44°/68°/68°. - Часть 2, 1: ∠OMK = 29°. - Часть 2, 2: ∠B = 76°. - Часть 2, 3: боковая сторона = 18 см.