354*. Бильярдный шар 1, движущийся со скоростью 10 м/с, ударил о покоящийся шар 2 такой же массы. После удара ша-ры разошлись так, как показано на рисунке 67. Найти ско-рости шаров после удара. 19. Механическая работа. Кинетическая и потенциальная энергия

Ниже подробное решение задачи 354*, с учётом того, что на рисунке 67 задаётся угол разложения скоростей после удара. Без этого угла однозначно численные скорости не определить, поэтому сначала выведем общую формулу, а затем покажем примеры. Задача: шарик 1 массой m движется со скоростью u = 10 м/с, шарик 2 той же массы покоится. После удара шары разошлись под углами так, как на рисунке 67. Найти скорости шаров после удара. 1) Общая физика решения (без числа угла φ) - Пусть после удара скорости шариков имеют модули v1 и v2 и направлены так, что шар 1 движется под углом φ ниже исходного направления вдоль оси x, а шар 2 — под углом 90° − φ выше оси x (рисунок можно сопоставить с классическим результатом: для ударов одинаковых масс в упругом столкновении скорости конечных тел взаимно перпендикулярны). - Закон сохранения импульса по векторам: суммарный импульс до удара равен суммарному импульсу после удара. m u i = m v1⃗ + m v2⃗ где i — единичный вектор вдоль исходного направления. - Закон сохранения кинетической энергии (упругий удар между одинаковыми массами): (1/2) m u^2 = (1/2) m v1^2 + (1/2) m v2^2. 2) Вывод зависимости между v1, v2 и углом φ - Сделаем разложение в декартовой системе: ось x — исходное направление движения шарика 1. Пусть скорости после удара заданы так, чтобы выполнялись условия: скорость шарика 1 имеет модуль v1 и направление под углом φ к оси x вниз (вниз по изображению), скорость шарика 2 — под углом 90°−φ к оси x вверх. Тогда компоненты скоростей: - для шара 1: v1x = v1 cos φ, v1y = − v1 sin φ - для шара 2: v2x = v2 cos(90°−φ) = v2 sin φ, v2y = v2 cos φ - Уравнения равенства импульсов по x и по y: x: m u = m v1 cos φ + m v2 sin φ y: 0 = − m v1 sin φ + m v2 cos φ - Уравнение по энергии: u^2 = v1^2 + v2^2 - Из уравнения по y получаем: v2 cos φ = v1 sin φ → v2 = v1 tan φ - Подставляем в уравнение по x: u = v1 cos φ + (v1 tan φ) sin φ = v1 (cos φ + sin^2 φ / cos φ) = v1 (cos^2 φ + sin^2 φ)/cos φ = v1 / cos φ Отсюда v1 = u cos φ, а далее v2 = v1 tan φ = u cos φ tan φ = u sin φ. - Таким образом получаем общую зависимость: v1 = u cos φ v2 = u sin φ Углы направлений: шар 1 движется под углом φ вниз, шар 2 — под углом 90°−φ вверх, их скорости взаимно перпендикулярны. 3) Числовой пример (если в рисунке 67 указан конкретный φ) - Так как в задаче дан рисунок 67, введите значение φ из него. Тогда: v1 = u cos φ v2 = u sin φ где u = 10 м/с. - Пример: если φ = 60°: v1 = 10 cos 60° = 10 · 0.5 = 5 м/с v2 = 10 sin 60° = 10 · (√3/2) ≈ 8.66 м/с направления: шар 1 под углом 60° вниз от исходной линии, шар 2 под углом 30° вверх от исходной линии (и скорости векторов взаимно перпендикулярны). - Специальные случаи: - Центральный удар (угол φ = 90°): v1 = 0, v2 = 10 м/с — шар 1 останавливается, шар 2 продолжает со скоростью исходную. - Граничащий случай очень бокового удара (φ близок к 0°): v1 ≈ 10 м/с, v2 ≈ 0. Итого: для вашего заданияSpeed после удара зависят от φ, который задаётся рисунком. Если вы пришлёте φ из рисунка 67, я подставлю число и дам точные скорости для шаров 1 и 2. Дополнение по задаче 19. Механическая работа. Кинетическая и потенциальная энергия - Механическая работа W — это интеграл силы вдоль траектории: W = ∫ F · ds. При постоянной силе F и полном перемещении s: W = F · Δs = F s cos θ. - Работы консервативных сил связаны с изменением потенциальной энергии: W_conserv = −ΔU. Например, для гравитационной силы U_g = m g h, работа против гравитации вызывает изменение высоты: ΔU_g = m g Δh. - Принцип работы и энергии: полная работа, совершаемая всеми силами, равна изменению кинетической энергии: W_net = ΔK, где K = (1/2) m v^2. - Механическая энергия E = K + U сохраняется в идеальном случае без неконсервативных сил (трение, сопротивление воздуха и т. п.). - Примеры применения: - Кинетическая энергия: K = 1/2 m v^2. - Потенциальная энергия: U_g = m g h (для вертикального перемещения); U_s = (1/2) k x^2 для упругой силы пружины. Если вы пришлёте phi или фотографию рисунка 67, дам числовой ответ в задаче 354*. Также могу развернуть любой из пунктов по работе и энергиям на конкретном примере.