Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор AD через векторы DO и AB.

Задача предполагает, что O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (то есть центр параллелограмма). В таком случае диагонали BD и AC пересекаются в своей середине, и O является их общим середином. Пошаговое решение: 1) Обозначим векторы через позиционные векторы точек A, B, C, D: AB = b − a, AD = d − a. Точки B и C можно записать как b = a + AB, c = a + AB + AD, а D как d = a + AD. 2) Точка O — середина диагонали AC: o = (a + c)/2. Подставим c: o = (a + (a + AB + AD))/2 = a + (AB + AD)/2. 3) Вектор DO: DO = o − d = [a + (AB + AD)/2] − [a + AD] = (AB + AD)/2 − AD = AB/2 − AD/2 = (AB − AD)/2. 4) Теперь выразим AD через AB и DO. Из равенства DO = (AB − AD)/2 получаем 2 DO = AB − AD, значит AD = AB − 2 DO. Ответ: AD = AB − 2 DO.