19) |sin cos dx; () V 28) sin 2x dx; 20) Jcos2 dx; 0 V 29) J x3 dx; 1 21) / dx sin 2x In 2 30) Je2x dx; () 22) fdx cos 2x 31) Jsin2 x dx; 1 23) J (sin x - 3cos x - x) dx; 32) J x2 dx; 1 2т 24) Jtg2 x dx; 33) |sin x\ dx; 4 2 34) j3/xdx; 25) [|x - 1| dx; O 1 1 26) fx4 dx; 35) J /1 - x dx; O ( 1 27) |_dx x + 1 8 36) f dx 3 /x + 1

Ниже подробные решения по пунктам 19–36. Я беру стандартные варианты формулировок, соответствующие привычному набору интегралов в средней школе. Для некоторых задач даю разбор пошагово, включая переходы, а для кусочно-определяемых функций — кусочно-построенные ответы. 19) ∫ sin x cos x dx - Разбор: можно подобрать подстановку t = sin x, dt = cos x dx. Тогда ∫ sin x cos x dx = ∫ t dt = t^2/2 + C = sin^2 x / 2 + C. - Ответ: sin^2 x / 2 + C 20) ∫ cos^2 x dx - Разбор: cos^2 x = (1 + cos 2x)/2. ∫ cos^2 x dx = ∫ (1/2) dx + ∫ (cos 2x)/2 dx = x/2 + (1/4) sin 2x + C. - Ответ: x/2 + (1/4) sin 2x + C 21) ∫ sin x dx - Разбор: стандартная интеграция sin. - Ответ: -cos x + C 22) ∫ x cos 2x dx - Разбор: интегрируем по частям: u = x, dv = cos 2x dx. du = dx, v = (1/2) sin 2x. ∫ x cos 2x dx = x*(1/2) sin 2x - ∫ (1/2) sin 2x dx = (x/2) sin 2x - (1/2)*(-1/2) cos 2x + C = (x/2) sin 2x + (1/4) cos 2x + C. - Ответ: (x/2) sin 2x + (1/4) cos 2x + C 23) ∫ (sin x - 3 cos x - x) dx - Разбор по частям: ∫ sin x dx = -cos x ∫ (-3 cos x) dx = -3 sin x ∫ (-x) dx = -x^2/2 - Ответ: -cos x - 3 sin x - x^2/2 + C 24) ∫ tan^2 x dx - Разбор: tan^2 x = sec^2 x - 1. ∫ tan^2 x dx = ∫ sec^2 x dx - ∫ 1 dx = tan x - x + C. - Ответ: tan x - x + C 25) ∫ |x - 1| dx - Разбор: функция под модуля кусочно. Для x ≥ 1: |x-1| = x-1 → ∫ (x-1) dx = x^2/2 - x + C1 Для x < 1: |x-1| = 1 - x → ∫ (1 - x) dx = x - x^2/2 + C2 - Ответ: кусочно: - если x ≥ 1: x^2/2 - x + C1 - если x < 1: x - x^2/2 + C2 26) ∫ x^4 dx - Разбор: по правилу степени. - Ответ: x^5/5 + C 27) ∫ |x + 1| dx - Разбор: кусочно по модулю. Для x ≥ -1: |x+1| = x+1 → ∫ (x+1) dx = x^2/2 + x + C1 Для x < -1: |x+1| = -(x+1) → ∫ -(x+1) dx = -x^2/2 - x + C2 - Ответ: кусочно: - если x ≥ -1: x^2/2 + x + C1 - если x < -1: -x^2/2 - x + C2 28) ∫ sin 2x dx - Разбор: подстановка u = 2x, du = 2 dx. ∫ sin 2x dx = (1/2) ∫ sin u du = -(1/2) cos u + C = -(1/2) cos 2x + C. - Ответ: -(1/2) cos 2x + C 29) ∫ x^3 dx - Разбор: по правилу степеней. - Ответ: x^4 / 4 + C 30) ∫ e^{2x} dx - Разбор: подстановка t = 2x, dt = 2 dx. ∫ e^{2x} dx = (1/2) ∫ e^t dt = (1/2) e^t + C = (1/2) e^{2x} + C. - Ответ: (1/2) e^{2x} + C 31) ∫ sin^2 x dx - Разбор: sin^2 x = (1 - cos 2x)/2. ∫ sin^2 x dx = ∫ (1/2) dx - ∫ (cos 2x)/2 dx = x/2 - (1/4) sin 2x + C. - Ответ: x/2 - (1/4) sin 2x + C 32) ∫ x^2 dx - Разбор: по правилу степеней. - Ответ: x^3/3 + C 33) ∫ |sin x| dx - Разбор: это неопределенный интеграл с модулем, который по сути задаёт кусочно-непрерывную анти- производную. На интервалах, где sin x ≥ 0 (например, от 2kπ до (2k+1)π): ∫ |sin x| dx = ∫ sin x dx = -cos x + C На интервалах, где sin x ≤ 0 (например, от (2k+1)π до (2k+2)π): ∫ |sin x| dx = ∫ -sin x dx = cos x + C - Ответ: кусочно-построенная функция: - при sin x ≥ 0: -cos x + C - при sin x ≤ 0: cos x + C (Константы можно выбрать так, чтобы функция была непрерывной на границах интервалов.) 34) ∫ x^3/x dx - Разбор: для x ≠ 0, x^3/x = x^2. ∫ x^2 dx = x^3/3 + C - Ответ: x^3/3 + C (но помните, что определение требует x ≠ 0; в пределах области определения анти- производной это нормально) 35) ∫ 1/(1 - x) dx - Разбор: подстановка u = 1 - x, du = -dx. ∫ 1/(1 - x) dx = - ∫ du/u = -ln|u| + C = -ln|1 - x| + C - Ответ: -ln|1 - x| + C 36) ∫ 3/(x + 1) dx - Разбор: вынесем константу. 3 ∫ 1/(x+1) dx = 3 ln|x+1| + C - Ответ: 3 ln|x+1| + C Если хотите, могу привести дополнительные пояснения по любой конкретной задаче или оформить ответы в виде одного файла/тетради.