|3х-1|=|2х-4|

Задача: |3x - 1| = |2x - 4|

Поскольку цель — понять, дам подробное разбор и два подхода.

Подход 1. Разбиение по свойству модулей (A = B или A = -B)

• Пусть A = 3x - 1, B = 2x - 4. Для равенства модулей выполняются два варианта:

  1. 3x - 1 = 2x - 4 Решение: 3x - 1 = 2x - 4 ⇒ x - 1 = -4 ⇒ x = -3
  2. 3x - 1 = -(2x - 4) = -2x + 4 Решение: 3x - 1 = -2x + 4 ⇒ 5x - 1 = 4 ⇒ 5x = 5 ⇒ x = 1

• Проверка:

  • Для x = -3: |3(-3) - 1| = |-10| = 10, |2(-3) - 4| = |-10| = 10. Оба равны.
  • Для x = 1: |3(1) - 1| = |2| = 2, |2(1) - 4| = |-2| = 2. Оба равны.

Подход 2. Квадратирование (эквивалентно разности квадратов)

• Известно, что |A| = |B| эквивалентно A^2 = B^2.
• Применяем: (3x - 1)^2 = (2x - 4)^2 Разности квадратов: [(3x - 1) - (2x - 4)] · [(3x - 1) + (2x - 4)] = 0 Это дает:
  • (3x - 1) - (2x - 4) = x + 3 = 0 ⇒ x = -3
  • (3x - 1) + (2x - 4) = 5x - 5 = 0 ⇒ x = 1

Оба подхода дают одни и те же решения: x = -3 и x = 1.

Ответ: x = -3 или x = 1.