Натуральные числа a,b,c таковы, что a2 b+b2 c+c2 a=ab2+bc2+ca2 и abc=46410. Чему равна сумма a+b+c?
Разберём задачу по шагам.
- Используем известную идентичность a^2 b + b^2 c + c^2 a − (ab^2 + bc^2 + ca^2) = (a − b)(b − c)(c − a).
Дано равенство слева, значит (a − b)(b − c)(c − a) = 0. Следовательно, хотя бы два числа из a, b, c равны между собой. Пусть две переменные равны: например, a = b (аналогично рассуждаем и для других случаев).
- Применяем условие abc = 46410 Если a = b, то из abc = 46410 следует a^2 c = 46410.
Разобьём 46410 на простые: 46410 = 2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 17. У степени каждого простого в этом разложении ровно 1.
Теперь рассмотрим выражение a^2 c = 46410. Если a > 1, то a^2 содержит фактор p^2 для какого-нибудь простого p, то в произведении a^2 c этот простой будет иметь степень не менее 2, что противоречит тому, что в 46410 степень любого простого равна 0 или 1. Поэтому a не может быть больше 1, значит a = 1. Тогда из a = b следует b = 1, а c = 46410.
Аналогично для случаев:
- b = c: тогда a b^2 = 46410. По той же причине b не может быть > 1, поэтому b = c = 1, а a = 46410.
- c = a: тогда a^2 b = 46410. Опять a = 1, следовательно c = a = 1, b = 46410.
Таким образом, все допустимые натуральные решения — это перестановки тройки (1, 1, 46410).
- Найдём сумму а + b + c = 1 + 1 + 46410 = 46412.
Ответ: 46412.
