y=3x²+5x-2

Задача:y = 3x^2 + 5x - 2

Дано: квадратичная функция y = ax^2 + bx + c с a = 3, b = 5, c = -2.

Цель: понять свойства параболы и найти корни, вершину и т.д.

Пошаговое решение и пояснения

1. Корни (решение уравнения 3x^2 + 5x - 2 = 0)

• Вычисляем дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4·3·(-2) = 25 + 24 = 49.
• Корни по формуле x = [-b ± sqrt(D)] / (2a): x1 = [-5 + 7] / (6) = 2/6 = 1/3, x2 = [-5 - 7] / (6) = -12/6 = -2.
• Проверка подстановкой: f(-2) = 3·4 + 5(-2) - 2 = 12 - 10 - 2 = 0, f(1/3) = 3·(1/9) + 5·(1/3) - 2 = 1/3 + 5/3 - 2 = 2 - 2 = 0.
• Следовательно, x-координаты корней: x = -2 и x = 1/3.

2. Вершина параболы и ось симметрии

• Коэффициент при x: a = 3 > 0, значит парабола открывается вверх и имеет минимум.
• Ось симметрии: x_v = -b/(2a) = -5/(2·3) = -5/6 ≈ -0.8333.
• Значение функции в вершине (y-вершина): y_v = f(-5/6) = 3(-5/6)^2 + 5(-5/6) - 2 = 3·25/36 - 25/6 - 2 = 75/36 - 150/36 - 72/36 = (-147)/36 = -49/12 ≈ -4.0833.
• Вершина: (-5/6, -49/12). В виде параболы это обычно записывают как: y = 3(x + 5/6)^2 - 49/12 (форма вершины).

3. Факторизация (альтернативный способ найти корни)

• Можно проверить разложение: 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2).
• Раскроем скобки: (3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2.
• Это согласуется с найденными корнями: x = 1/3 и x = -2.

4. Точки пересечения с осями

• y-перехват (значение при x = 0): f(0) = -2, то есть точка (0, -2).
• x-пересечения (уже найдены выше): (-2, 0) и (1/3, 0).

5. Диапазон значений и общая характеристика графика

• Поскольку парабола открывается вверх, минимум достигается в вершине.
• Диапазон значений: y ≥ y_v = -49/12 ≈ -4.0833.
• Основная характеристика: корни при x = -2 и x = 1/3, вершина в (-5/6, -49/12), ось симметрии x = -5/6.

6. Краткое резюме

• Уравнение: y = 3x^2 + 5x - 2.
• Корни: x = -2 и x = 1/3.
• Ось симметрии: x = -5/6.
• Вершина: (-5/6, -49/12).
• Форма: парабола, график восходит (a > 0).
• Вершина в форме y = 3(x + 5/6)^2 - 49/12.

Если нужно, могу нарисовать график или привести еще примеры задач на эту же функцию (например, найти значение функции в заданном x, построение промежутков монотонности, или интерполяцию значений).