Y=3x²+5x-2

Задача:y = 3x^2 + 5x - 2 Дано: квадратичная функция y = ax^2 + bx + c с a = 3, b = 5, c = -2. Цель: понять свойства параболы и найти корни, вершину и т.д. Пошаговое решение и пояснения 1) Корни (решение уравнения 3x^2 + 5x - 2 = 0) - Вычисляем дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4·3·(-2) = 25 + 24 = 49. - Корни по формуле x = [-b ± sqrt(D)] / (2a): x1 = [-5 + 7] / (6) = 2/6 = 1/3, x2 = [-5 - 7] / (6) = -12/6 = -2. - Проверка подстановкой: f(-2) = 3·4 + 5(-2) - 2 = 12 - 10 - 2 = 0, f(1/3) = 3·(1/9) + 5·(1/3) - 2 = 1/3 + 5/3 - 2 = 2 - 2 = 0. - Следовательно, x-координаты корней: x = -2 и x = 1/3. 2) Вершина параболы и ось симметрии - Коэффициент при x: a = 3 > 0, значит парабола открывается вверх и имеет минимум. - Ось симметрии: x_v = -b/(2a) = -5/(2·3) = -5/6 ≈ -0.8333. - Значение функции в вершине (y-вершина): y_v = f(-5/6) = 3(-5/6)^2 + 5(-5/6) - 2 = 3·25/36 - 25/6 - 2 = 75/36 - 150/36 - 72/36 = (-147)/36 = -49/12 ≈ -4.0833. - Вершина: (-5/6, -49/12). В виде параболы это обычно записывают как: y = 3(x + 5/6)^2 - 49/12 (форма вершины). 3) Факторизация (альтернативный способ найти корни) - Можно проверить разложение: 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2). - Раскроем скобки: (3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2. - Это согласуется с найденными корнями: x = 1/3 и x = -2. 4) Точки пересечения с осями - y-перехват (значение при x = 0): f(0) = -2, то есть точка (0, -2). - x-пересечения (уже найдены выше): (-2, 0) и (1/3, 0). 5) Диапазон значений и общая характеристика графика - Поскольку парабола открывается вверх, минимум достигается в вершине. - Диапазон значений: y ≥ y_v = -49/12 ≈ -4.0833. - Основная характеристика: корни при x = -2 и x = 1/3, вершина в (-5/6, -49/12), ось симметрии x = -5/6. 6) Краткое резюме - Уравнение: y = 3x^2 + 5x - 2. - Корни: x = -2 и x = 1/3. - Ось симметрии: x = -5/6. - Вершина: (-5/6, -49/12). - Форма: парабола, график восходит (a > 0). - Вершина в форме y = 3(x + 5/6)^2 - 49/12. Если нужно, могу нарисовать график или привести еще примеры задач на эту же функцию (например, найти значение функции в заданном x, построение промежутков монотонности, или интерполяцию значений).