14. К числу 35 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15 (рас-смотрите все возможные случаи).

Разберём задачу так, чтобы учесть все случаи.

• Пусть слева поставим цифру x, справа — цифру y. Тогда новое число имеет вид x35y.
• Чтобы число было кратно 15, оно должно делиться и на 5, и на 3.

1. Деление на 5: последняя цифра y должна быть 0 или 5.

   • Случай A: y = 0
   • Случай B: y = 5

2. Деление на 3: сумма цифд числа x + 3 + 5 + y должна кратна 3.

   • Сумма S = x + y + 8. Нужно S ≡ 0 (mod 3).

Рассмотрим оба случая:

• Случай A: y = 0. Тогда S = x + 8. Требуется x + 8 ≡ 0 (mod 3), поэтому x ≡ 1 (mod 3). Возможные x: 1, 4, 7. Получаем числа: 1350, 4350, 7350.

• Случай B: y = 5. Тогда S = x + 13. Требуется x + 13 ≡ 0 (mod 3), поэтому x ≡ 2 (mod 3). Возможные x: 2, 5, 8. Получаем числа: 2355, 5355, 8355.

Итого все подходящие варианты:

• 1350
• 4350
• 7350
• 2355
• 5355
• 8355

Проверка (быстрый способ убедиться): каждоe число оканчивается на 0 или 5 (делится на 5) и сумма цифд делится на 3, поэтому каждое из них делится на 15. Например, 1350 ÷ 15 = 90, 2355 ÷ 15 = 157 и т.д.