корень 2

Задача: корень 2 (sqrt(2))

Что это такое

• sqrt(2) — число x, такое что x^2 = 2. Это положительный корень из уравнения x^2 − 2 = 0.
• Он иррационален: его нельзя выразить как дробь целых чисел.

Краткое доказательство иррациональности (для понимания)

• Пусть sqrt(2) = a/b в несокращённом виде (целые числа, b ≠ 0).
• Тогда 2b^2 = a^2, следовательно a^2 чётное, значит a — чётное. Пусть a = 2k.
• Подставляем: 2b^2 = 4k^2 → b^2 = 2k^2, значит b тоже чётное.
• Это противоречит тому, что дробь была в несократимом виде. Значит sqrt(2) иррационален.

Значение sqrt(2) примерно

• sqrt(2) ≈ 1.41421356 (много знаков после запятой можно продолжить по нужной точности).

Как можно посчитать sqrt(2) пошагово (метод Ньютона) Цель: найти корень уравнения x^2 = 2, или решить f(x) = x^2 − 2 = 0.

• Выбор начального приближения: x0 = 1.5 (удобно близко к истине).
• Формула метода Ньютона для этой задачи: x_{n+1} = (x_n + 2/x_n) / 2.

Пошагово:

1. x0 = 1.5
2. x1 = (1.5 + 2/1.5) / 2 = (1.5 + 1.333333333) / 2 ≈ 1.416666667
3. x2 = (1.416666667 + 2/1.416666667) / 2 2/1.416666667 ≈ 1.411764706 x2 ≈ (1.416666667 + 1.411764706) / 2 ≈ 1.414215686
4. x3 = (x2 + 2/x2) / 2 2/x2 ≈ 2/1.414215686 ≈ 1.414213562 x3 ≈ (1.414215686 + 1.414213562) / 2 ≈ 1.414213562

• После трёх итераций получаем очень точное значение: ≈ 1.414213562.

Практические варианты и быстрая оценка

• Базовые приближения:
  • 1. 1.4 (плохо для точности)
  • 2. 1.414 (уже близко)
  • 3. 1.4142 (точно до 4 знаков после запятой)
• Хорошие рациональные приближения (популярные конвергенты для sqrt(2)):
  • 3/2 = 1.5
  • 7/5 = 1.4
  • 17/12 ≈ 1.4167
  • 99/70 ≈ 1.4142857
  • 577/408 ≈ 1.414215686
  • 3363/2378 и далее (постепенно улучшают точность)

Геометрическая интонация (для понимания)

• sqrt(2) — диагональ квадратa со стороной 1. По теореме Пифагора диагональ равна sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2).

Краткий итог

• sqrt(2) — неизменное число ≈ 1.41421356, иррационально и является корнем x^2 − 2 = 0.
• Для вычисления можно использовать Newton’s метод: x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2 с любым разумным начальным приближением, что быстро сходится к нужной точности.