Корень 2

Задача: корень 2 (sqrt(2)) Что это такое - sqrt(2) — число x, такое что x^2 = 2. Это положительный корень из уравнения x^2 − 2 = 0. - Он иррационален: его нельзя выразить как дробь целых чисел. Краткое доказательство иррациональности (для понимания) - Пусть sqrt(2) = a/b в несокращённом виде (целые числа, b ≠ 0). - Тогда 2b^2 = a^2, следовательно a^2 чётное, значит a — чётное. Пусть a = 2k. - Подставляем: 2b^2 = 4k^2 → b^2 = 2k^2, значит b тоже чётное. - Это противоречит тому, что дробь была в несократимом виде. Значит sqrt(2) иррационален. Значение sqrt(2) примерно - sqrt(2) ≈ 1.41421356 (много знаков после запятой можно продолжить по нужной точности). Как можно посчитать sqrt(2) пошагово (метод Ньютона) Цель: найти корень уравнения x^2 = 2, или решить f(x) = x^2 − 2 = 0. - Выбор начального приближения: x0 = 1.5 (удобно близко к истине). - Формула метода Ньютона для этой задачи: x_{n+1} = (x_n + 2/x_n) / 2. Пошагово: 1) x0 = 1.5 2) x1 = (1.5 + 2/1.5) / 2 = (1.5 + 1.333333333) / 2 ≈ 1.416666667 3) x2 = (1.416666667 + 2/1.416666667) / 2 2/1.416666667 ≈ 1.411764706 x2 ≈ (1.416666667 + 1.411764706) / 2 ≈ 1.414215686 4) x3 = (x2 + 2/x2) / 2 2/x2 ≈ 2/1.414215686 ≈ 1.414213562 x3 ≈ (1.414215686 + 1.414213562) / 2 ≈ 1.414213562 - После трёх итераций получаем очень точное значение: ≈ 1.414213562. Практические варианты и быстрая оценка - Базовые приближения: - 1) 1.4 (плохо для точности) - 2) 1.414 (уже близко) - 3) 1.4142 (точно до 4 знаков после запятой) - Хорошие рациональные приближения (популярные конвергенты для sqrt(2)): - 3/2 = 1.5 - 7/5 = 1.4 - 17/12 ≈ 1.4167 - 99/70 ≈ 1.4142857 - 577/408 ≈ 1.414215686 - 3363/2378 и далее (постепенно улучшают точность) Геометрическая интонация (для понимания) - sqrt(2) — диагональ квадратa со стороной 1. По теореме Пифагора диагональ равна sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2). Краткий итог - sqrt(2) — неизменное число ≈ 1.41421356, иррационально и является корнем x^2 − 2 = 0. - Для вычисления можно использовать Newton’s метод: x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2 с любым разумным начальным приближением, что быстро сходится к нужной точности.