В вышибалы играет команда мальчиков и команда девочек. В каждой команде по 7 человек, один из которых вышибала. Вышибалы обеих команд в начале игры каждый раз пытаются выбить разного игрока. Найдите вероятность того, что команда мальчиков первой выбьет 3-ю девочку.
Классическая модель задачи (для целей понятности и решения):
- Пусть i — число выбывших девочек (то есть girls, которых выбили boys), j — число выбывших мальчиков (то есть boys, которых выбили girls).
- Цель: вероятность того, что i достигнет 3 раньше, чем j достигнет 3.
- В каждом шаге произойдет exactly одно выбывание: либо девушка выбывает (j → j+1), либо мальчик выбывает (i → i+1). Пусть вероятность каждого события на шаг равна 1/2 (симметрия между командами).
Обозначим f(i, j) = вероятность того, что i достигнет 3 раньше, чем j достигнет 3, будучи в состоянии, где уже выбыли i девочек и j мальчиков. Условия границы:
- если i = 3, то f(3, j) = 1 (уже выбили трёх девочек — задача выполнена);
- если j = 3, то f(i, 3) = 0 (уже выбили трёх мальчиков — условие не выполнено);
- для i < 3 и j < 3 имеем рекуррентную зависимость:
f(i, j) = 1/2 * f(i+1, j) + 1/2 * f(i, j+1).
Решая этот небольшой банаховский блок по границам, получаем последовательность значений. Наглядно можно выписать таблицу для i, j ∈ {0,1,2}:
- f(2,2) = 1/2
- f(2,1) = 1/2 * f(3,1) + 1/2 * f(2,2) = 1/2 * 1 + 1/2 * 1/2 = 3/4
- f(1,2) = 1/2 * f(2,2) + 1/2 * f(1,3) = 1/2 * 1/2 + 0 = 1/4
- f(2,0) = 1/2 * f(3,0) + 1/2 * f(2,1) = 1/2 * 1 + 1/2 * 3/4 = 7/8
- f(0,2) = 1/2 * f(1,2) + 1/2 * f(0,3) = 1/2 * 1/4 + 0 = 1/8
- f(1,1) = 1/2 * f(2,1) + 1/2 * f(1,2) = 1/2 * 3/4 + 1/2 * 1/4 = 1/2
- f(1,0) = 1/2 * f(2,0) + 1/2 * f(1,1) = 1/2 * 7/8 + 1/2 * 1/2 = 11/16 = 0.6875
- f(0,1) = 1/2 * f(1,1) + 1/2 * f(0,2) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/8 = 5/16 = 0.3125
- f(0,0) = 1/2 * f(1,0) + 1/2 * f(0,1) = 1/2 * 11/16 + 1/2 * 5/16 = 16/32 = 1/2
Итак, f(0,0) = 1/2. Значит, вероятность того, что команда мальчиков первой выбьет 3-ю девочку, равна 1/2.
Ключевые моменты:
- Задача симметрична между двумя командами: вероятность достижения любой из двух одинаковых пороговых значений (3 выбитые девочки против 3 выбитых мальчиков) одинакова.
- В данной модели порядок eliminations однозначен (одна вылетает за шаг), поэтому не возникает понятия «победа раньше» с возможной двусмысленностью в одном и том же шаге.
Ответ: 1/2 (50%).
Дополнение про параметры задачи:
- Количество игроков в командах (7 по каждой) здесь не влияет на итоговую вероятность, поскольку порог одинаковый (3). Условие, что каждый порог меньше исходного числа игроков, обеспечивает, что задача корректна в рамках описанной модели. Если пороги были одинаковые, но и ближе к началу соревнования, принцип symmetry и ответ 1/2 сохраняются.
