Алгебра · 11 класс Задача №3433573
А
А
найти f'(1), если: f(x) = (2x-1)⁵ (1+x)⁴
Задача: найти f'(1) для f(x) = (2x-1)^5 (1+x)^4.
Решение по шагам:
Применяем правило произведения: f' = (2x-1)^5 · d/dx[(1+x)^4] + (1+x)^4 · d/dx[(2x-1)^5].
Найдём производные:
- d/dx[(1+x)^4] = 4(1+x)^3.
- d/dx[(2x-1)^5] = 5(2x-1)^4 · d/dx(2x-1) = 5(2x-1)^4 · 2 = 10(2x-1)^4.
Подставим в формулу: f' = (2x-1)^5 · 4(1+x)^3 + (1+x)^4 · 10(2x-1)^4.
Вынесем общие множители: f' = (2x-1)^4 (1+x)^3 [ 4(2x-1) + 10(1+x) ].
Упростим скобки: 4(2x-1) + 10(1+x) = 8x - 4 + 10x + 10 = 18x + 6 = 6(3x+1).
Получим окончательно: f'(x) = 6 (2x-1)^4 (1+x)^3 (3x+1).
Оценим в точке x = 1:
- 2x-1 при x=1 равно 1 → (2x-1)^4 = 1.
- 1+x при x=1 равно 2 → (1+x)^3 = 8.
- 3x+1 при x=1 равно 4.
Тогда f'(1) = 6 · 1 · 8 · 4 = 192.
Ответ: f'(1) = 192.
