В прямоугольном треугольнике ABC отметили точку M середину гипотенузы АВ. Точка D выбрана на продолжении прямой АС за точку С, а точка Е на отрезке ВС. Точка № середина отрезка…
В прямоугольном треугольнике ABC отметили точку M середину гипотенузы АВ. Точка D выбрана на продолжении прямой АС за точку С, а точка Е на отрезке ВС. Точка № середина отрезка DE. Оказалось, что MN = AM = 6 И CBN = 30°. Найдите DE.
Решение задача сводим к координатному подходу.
- Введение координат
- Пусть C = (0,0). Так как треугольник ABC прямоугольный в C, можно взять A на оси x: A = (a, 0), и B на оси y: B = (0, b), где a > 0, b > 0.
- M — середина гипотенузы AB, поэтому M = ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).
- Так как AM = 6 и AM = AB/2, получаем AB = 12, следовательно a^2 + b^2 = 12^2 = 144.
- Точки D, E и N
- D лежит на продолжении AC за точку C, то D = (d, 0) с d ≤ 0.
- E лежит на BC, значит E = (0, e) с 0 ≤ e ≤ b.
- N — середина DE, потому N = ((d+0)/2, (0+e)/2) = (d/2, e/2).
Условие MN = 6 MN^2 = ((a/2) - (d/2))^2 + ((b/2) - (e/2))^2 = ( (a - d)^2 + (b - e)^2 ) / 4. Так как MN = 6, имеем: (а - d)^2 + (b - e)^2 = 144. (1)
Условие ∠CBN = 30°
- Вектор BC = C − B = (0,0) − (0,b) = (0, −b).
- Вектор BN = N − B = (d/2, e/2 − b).
- Косинус угла между BC и BN равен cos 30° = √3/2: [(BC · BN)] / (|BC| |BN|) = √3/2. BC · BN = (0)(d/2) + (−b)(e/2 − b) = b^2 − (b e)/2. |BC| = b, |BN| = sqrt[(d/2)^2 + (e/2 − b)^2].
После приведения получаем правильное после упрощения соотношение: (b − e/2)^2 = (3/4) d^2. (2)
Замена переменных для простоты Пусть t = −d > 0 (D за C слева, как и требуется). Из (2) получаем b − e/2 = ± (√3/2) t. Выберем физически корректный вариант, который даёт допустимое положение точек (D за C, E на отрезке BC). Тогда можно записать: e = 2b − √3 t, d = −t. (3)
Используем условие (1) со вставленными (3) (a − d)^2 + (b − e)^2 = 144 ⇒ (a + t)^2 + (−b + √3 t)^2 = 144. (4)
Связь между a, b и t Из AB = 12 и (4): (a + t)^2 + (−b + √3 t)^2 = 144 а также a^2 + b^2 = 144.
Раскрывая (4) и используя a^2 + b^2 = 144, получаем 2 a t + 4 t^2 − 2√3 b t = 0 или t ( a + 2 t − √3 b ) = 0.
Так как t > 0, имеем a = √3 b − 2 t. (5)
Подставляя это в a^2 + b^2 = 144, получаем (√3 b − 2 t)^2 + b^2 = 144 4 b^2 − 4√3 b t + 4 t^2 = 144 b^2 − √3 b t + t^2 = 36. (6)
- Поиск DE DE^2 = d^2 + e^2 = t^2 + (2b − √3 t)^2 = t^2 + 4 b^2 − 4√3 b t + 3 t^2 = 4(b^2 − √3 b t + t^2).
По (6) b^2 − √3 b t + t^2 = 36, значит DE^2 = 4 · 36 = 144.
Следовательно, DE = sqrt(144) = 12.
Ответ: DE = 12.
