В четырёхугольнике АВCD отметили середины стороны АВ, ВС и AD точки М, №и R соответственно, MNR = 70°, NRA = 80°. Расстояние от точки С до прямой AD равно 9. Найдите отрезок №М.

Задача: В четырехугольнике ABCD середины сторон AB и BC отмечены точки M и N, соответственно, и середина AD — точка R. Дан угол MNR = 70°, NRA = 80°. Расстояние от точки C до прямой AD равно 9. Найдите длину отрезка MN.

Ключевые соображения

• В треугольнике ABC M и N — середины AB и BC, значит MN ∥ AC и MN = AC/2 (средний отрезок).
• Пусть α — угол между AC и AD (то есть α = ∠CAD, углу между двумя прямыми AC и AD).
• RA лежит на AD (R — середина AD), поэтому угол NRA — угол между NR и RA, то есть между NR и прямой AD. Следовательно NR образует угол 80° с прямой AD. В этом контексте направление NR относительно оси AD задаёт направление NR как φ = 100° (если ADTake за ось Ox, RA направлена влево; угол между NR и RA равен 80°, значит NR делает угол 180° − 80° = 100° с положительным направлением Ox).
• Угол между NM и NR дан как 70°. Так как NM ∥ AC, угол между AC и NR равен 70°. Следовательно |φ − α| = 70°. Из φ = 100° получаем α = 100° − 70° = 30° (при условии, что α острый, что соответствует обычной конфигурации выпуклого четырёхугольника ABCD).

Расчёт

1. MN ∥ AC и MN = AC/2, поэтому нужно найти AC.
2. Расстояние от C до прямой AD равно 9. Если AC образует с AD угол α, то проекция перпендикуляра из C на AD равна AC sin α. Таким образом: 9 = AC · sin α. При α = 30° получаем sin α = 1/2, значит AC = 9 / (1/2) = 18.
3. Тогда MN = AC/2 = 18/2 = 9.

Ответ: MN = 9.