решить уравнение: 3/2 sin(π-2x)+√3 sin^2 (x - 3π/2) =√3
Задача: решить уравнение (3/2) sin(π − 2x) + √3 sin^2(x − 3π/2) = √3.
Пошаговое решение
- Применяем триггид identities:
- sin(π − y) = sin y, значит sin(π − 2x) = sin(2x).
- sin(x − 3π/2) = sin(x + π/2) = cos x, значит sin^2(x − 3π/2) = cos^2 x.
Уравнение превращается в: (3/2) sin(2x) + √3 cos^2 x = √3.
Преобразуем sin(2x) = 2 sin x cos x: (3/2) · 2 sin x cos x + √3 cos^2 x = √3 3 sin x cos x + √3 cos^2 x = √3.
Переносим √3 и используем cos^2 x − 1 = −sin^2 x: 3 sin x cos x + √3 (cos^2 x − 1) = 0 3 sin x cos x − √3 sin^2 x = 0.
Выносим общие множители: sin x (3 cos x − √3 sin x) = 0.
Таким образом получаем два случая.
- Решения по случаям
- Случай A: sin x = 0 → x = kπ, где k ∈ Z.
- Случай B: 3 cos x − √3 sin x = 0 3 cos x = √3 sin x → tan x = √3 → x = π/3 + kπ, где k ∈ Z.
- В сумме все решения: x = kπ или x = π/3 + kπ, при любом целочисленном k.
Ответ: x ∈ { kπ, π/3 + kπ | k ∈ Z }.
Обсуждение
2 сообщенияукажите корни уравнения принадлежащие отрезку [-π/6; 13π/12]
Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-π/6; 13π/12]\), рассмотрим два случая, найденные ранее.
- Случай A: \(x = k\pi\)
Для \(k\) = 0: \[ x = 0 \] (принадлежит отрезку \([-π/6; 13π/12]\))
Для \(k\) = 1: \[ x = \pi \approx 3.14 \] (принадлежит отрезку \([-π/6; 13π/12]\), так как \(13\pi/12 \approx 3.25\))
Для \(k\) = -1: \[ x = -\pi \approx -3.14 \] (не принадлежит отрезку)
Корни из случая A: \(0, \pi\)
- Случай B: \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\)
Для \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \] (принадлежит отрезку)
Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 \] (не принадлежит отрезку)
Для \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{3} - \pi = \frac{-2\pi}{3} \approx -2.09 \] (не принадлежит отрезку)
Корни из случая B: \(\frac{\pi}{3}\)
Полный список корней, принадлежащих отрезку:
\[ \boxed{0, \frac{\pi}{3}, \pi} \]
Все эти корни находятся на отрезке \([-π/6; 13π/12]\).
