решите уравнение: tg^2 4x - 4/3 sin^2 4x =0

Задача: решить уравнение tan^2(4x) - (4/3) sin^2(4x) = 0.

Пошаговое решение

1. Приведём уравнение к одной переменной через sin и cos: tan^2(4x) = sin^2(4x) / cos^2(4x). Уравнение становится: sin^2(4x) / cos^2(4x) - (4/3) sin^2(4x) = 0.

2. Разделим по случаям.

• Случай А: sin^2(4x) = 0. Тогда sin(4x) = 0, значит 4x = kπ, где k ∈ Z. Следовательно x = kπ/4.

• Случай Б: sin^2(4x) ≠ 0. Тогда можно разделить на sin^2(4x): 1 / cos^2(4x) - 4/3 = 0 => sec^2(4x) = 4/3 => cos^2(4x) = 3/4. Значит cos(4x) = ±√3/2.

  Решения cos(4x) = ±√3/2 дают: 4x ∈ {π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6} + 2πk, k ∈ Z. Следовательно x ∈ {π/24, 5π/24, 7π/24, 11π/24} + (π/2)k, k ∈ Z.

3. Итог Общие решения объединяются из двух случаев:

• x = kπ/4, k ∈ Z
• x = π/24 + (π/2)k, k ∈ Z
• x = 5π/24 + (π/2)k, k ∈ Z
• x = 7π/24 + (π/2)k, k ∈ Z
• x = 11π/24 + (π/2)k, k ∈ Z

Можно записать компактнее как:

• x = kπ/4, k ∈ Z
• или 4x ∈ {π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6} + 2πk, k ∈ Z.

Проверка кратко: для первого семейства sin(4x)=0, tan^2(4x)=0, уравнение выполняется. Для второго семейства sin^2(4x)=1/4, tan^2(4x) = sin^2/cos^2 = (1/4)/(3/4) = 1/3, тогда tan^2(4x) - (4/3) sin^2(4x) = 1/3 - (4/3)*(1/4) = 1/3 - 1/3 = 0. Всё корректно.