"На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек: В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? "
Классно! Ты дал правильный ответ: 3. Давай разбираемся по шагам и объясню, как это обосновать.
Суть задачи Производная положительна там, где функция возрастает (на участках графика, где график идёт вверх при движении вправо). Если точка лежит на участке возрастания, в окрестности этой точки касательная наклонена вверх, и f'(x) > 0. Если точка находится на локальном максимуме или минимуме, производная в этой точке равна нулю. На участках убывания производная отрицательная.
Как решать на графике
- Найди участки графика, на которых функция возрастает.
- Посмотри, на каких из семи отмеченных точек эти участки проходят через точку: в таких точках производная положительна.
- Если точка лежит прямо на локальном максимумe/минимуме — производная равна нулю, и она не подходит под условие >0.
Сравнение с твоим ответом Согласно решению на графике три точки лежат на возрастающей части графика, поэтому производная положительна именно в 3 точках. Твой ответ «3» совпадает с правильным.
Почему именно так решать (обоснование)
- Правило: f'(x) > 0 там, где f(x) возрастает.
- В дифференцируемой функции локальные экстремумы дают f'(x) = 0. Следовательно, любые точки, лежащие на участках возрастания и не являющиеся локальными максимумами/минимумами, имеют положительную производную.
- По изображению три точки попадают на такие возрастающие участки.
- Быстрые напутствия на похожие задачи
- Всегда ищи участки возрастания графика и помечай, какие точки попадают на них.
- Помни, точка на локальном максимуме/минимуме даёт f'(x) = 0.
- Если график несложно разбить на интервалы: на каждом интервале помни, что знак производной может быть либо положительным, либо отрицательным, в зависимости от направления графика.
Если хочешь, могу взять другую схему похожей задачи и разобрать её по аналогии — без изображения, только по описанию, чтобы закрепить принцип.
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
